2024年02月01日

高校数学「数列」Sn=1/(√1+√2)+1/(√2+√3)+1/(√3+√4)+……+1/{√n+√(n+1)}

高校数学「数列」Sn=1/(√1+√2)+1/(√2+√3)+1/(√3+√4)+……+1/{√n+√(n+1)}

◆問題

次の和Snを求めよ。

Sn=1/(√1+√2)+1/(√2+√3)+1/(√3+√4)+……+1/{√n+√(n+1)}


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

Sn=1/(√1+√2)+1/(√2+√3)+1/(√3+√4)+……+1/{√n+√(n+1)}

これは等差数列でもなく等比数列でもなく、このような数列に対応するΣの公式もないので、できるだけ簡単な形に式を変形することを考えます。

式をよく見てみると、Sn=1/(1・2)+1/(2・3)+1/(3・4)+……+1/{n(n+1)}などの問題と形が似ていることに気付くと思います。
ならば、その手の問題と似たようなことができないかな?と考えます。

とりあえず最初の項1/(√1+√2)をピックアップしてみましょう。
分母にルートがあると計算しにくいので、有理化してみると・・・

 1/(√1+√2)
={1/(√1+√2)}×{(√2−√1)/(√2−√1)}
=(√2−√1)/(√22−√12)
=(√2−√1)/(2−1)
=√2−√1

このように変形することができますね。

1/(√2+√3)も同様に有理化すれば、√3−√2と直すことができます。

ということは、この数列の全ての項は同様に有理化することができて、

Sn=(√2−√1)+(√3−√2)+(√4−√3)+……+{√(n+1)−√n}

このように変形することができます。
すると、部分分数分解のときと同じように、それぞれ相殺して、

Sn=−√1+√(n+1)

これだけ残ることになります。

√1=1なので、ちょっと見やすく書き直すと、

Sn=√(n+1)−1

これで完成ですね!


◆関連項目
Sn=1/(1・2)+1/(2・3)+1/(3・4)+……+1/{n(n+1)}部分分数分解
数列まとめ

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ラベル:数学
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中学公民「社会保障制度・労働者の権利」少子高齢社会と社会保障

中学公民「社会保障制度・労働者の権利」少子高齢社会と社会保障

◆問題

@現在の日本は、[ ]の低下と平均寿命の伸びによって、年少人口の割合が減少し、高齢者の割合が増加する[ ]社会になっている。

A生活のサポートが必要な高齢者を支えるために、2000年から[ ]という新しい社会保険の制度が始まった。

B社会保障制度の費用の大半は、働く世代が払う保険料と国民が納める[ ]でまかなわれている。

C高齢者の医療費と[ ]の支払いに関して、若い世代の負担が増えるとして問題になっている。


解答はこのページ下


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◆解答

@現在の日本は、[出生率]の低下と平均寿命の伸びによって、年少人口の割合が減少し、高齢者の割合が増加する[少子高齢]社会になっている。

A生活のサポートが必要な高齢者を支えるために、2000年から[介護保険]という新しい社会保険の制度が始まった。

B社会保障制度の費用の大半は、働く世代が払う保険料と国民が納める[税金]でまかなわれている。

C高齢者の医療費と[年金]の支払いに関して、若い世代の負担が増えるとして問題になっている。


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日本史「第二次世界大戦」第二次世界大戦の勃発@

日本史「第二次世界大戦」第二次世界大戦の勃発@

◆問題

空欄に適語を入れてください。

ヨーロッパではナチス=ドイツがヴェルサイユ体制の打破に乗り出して1938年にオーストリアを併合し、チェコスロヴァキアも侵略した。このような中でドイツは、日本の第1次近衛内閣に対し、(@)・(A)・フランスを仮想敵国とする軍事同盟を提案した。1939年始めに組閣した平沼騏一郎枢密院議長の平沼内閣はこの軍事同盟締結を巡り対立が生じ、同年8月に突如ドイツが(@)と(B)条約を結んだため、国際情勢の急変に対応し得ないとして総辞職した。


解答はこのページ下


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◆解答

@ソ連、Aイギリス、B独ソ不可侵

ヨーロッパではナチス=ドイツがヴェルサイユ体制の打破に乗り出して1938年にオーストリアを併合し、チェコスロヴァキアも侵略した。このような中でドイツは、日本の第1次近衛内閣に対し、ソ連・イギリス・フランスを仮想敵国とする軍事同盟を提案した。1939年始めに組閣した平沼騏一郎枢密院議長の平沼内閣はこの軍事同盟締結を巡り対立が生じ、同年8月に突如ドイツがソ連と独ソ不可侵条約を結んだため、国際情勢の急変に対応し得ないとして総辞職した。


前の問題→戦時下の文化A
次の問題→第二次世界大戦の勃発A


近代・現代まとめ
近世まとめ中世まとめ原始・古代まとめ


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こんなヤツです
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