本日配信のメルマガでは、2024年大学入学共通テスト数学2B第1問[2]を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.htmlリクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。
■ 問題
2024年共通テスト数2Bより
第1問
[2] S(x)をxの2次式とする。xの整式P(x)をS(x)で割ったときの商を
T(x),余りをU(x)とする。ただし、S(x)とP(x)係数は実数であるとする。
(1) P(x)=2x^3+7x^2+10x+5,S(x)=x^2+4x+7の場合を
考える。
方程式S(x)=0の解はx=[コサ]±√[シ]iである。
また、T(x)=[ス]x−[セ],U(x)=[ソタ]である。
(2) 方程式S(x)=0は異なる2つの解α,βをもつとする。このとき
P(x)をS(x)で割った余りが定数になる
ことと同値な条件を考える。
(i) 余りが定数になるときを考えてみよう。
仮定から、定数kを用いてU(x)=kとおける。このとき[チ]したがって、
余りが定数になるとき、[ツ]が成り立つ。
[チ]については、最も適当なものを、次の{0}〜{3}のうちから1つ選べ。
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} P(α)=P(β)=kが成り立つことから、P(x)=S(x)T(x)+k|
| となることが導かれる。また、P(α)=P(β)=kが成り立つこと |
| から、S(α)=S(β)=0となることが導かれる |
|{1} P(x)=S(x)T(x)+kかつP(α)=P(β)=kが成り立つこと |
| から、S(α)=S(β)=0となることが導かれる |
|{2} S(α)=S(β)=0が成り立つことから、P(x)=S(x)T(x)+k|
| となることが導かれる。また、S(α)=S(β)=0が成り立つこと |
| から、P(α)=P(β)=kとなることが導かれる |
|{3} P(x)=S(x)T(x)+kかつS(α)=S(β)=0が成り立つこと |
| から、P(α)=P(β)=kとなることが導かれる |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ツ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――┐
| {0} T(α)=T(β) {1} P(α)=P(β) |
| {2} T(α)≠T(β) {3} P(α)=P(β) |
└―――――――――――――――――――――――――――――┘
(ii) 逆に[ツ]が成り立つとき、余りが定数になるかを調べよう。
S(x)が2次式であるから、m,nを定数としてU(x)=mx+nとおける。
P(x)をS(x),T(x),m,nを用いて表すと、P(x)=[テ]となる。この等式の
xに、α,βをそれぞれ代入すると[ト]となるので、[ツ]とα≠βより[ナ]となる。
以上から余りが定数になることがわかる。
[テ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| {0} (mx+n)S(x)T(x) {1} S(x)T(x)+mx+n |
| {2} (mx+n)S(x)+T(x) {3} (mx+n)T(x)+S(x) |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ト]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| {0} P(α)=T(α) かつ P(β)=T(β) |
| {1} P(α)=mα+n かつ P(β)=mβ+n |
| {2} P(α)=(mα+n)T(α) かつ P(β)=(mβ+n)T(β) |
| {3} P(α)=P(β)=0 |
| {4} P(α)≠0 かつ P(β)≠0 |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[テ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| {0} m≠0 {1} m≠0 かつ n=0 |
| {2} m≠0 かつ n≠0 {3} m=0 |
| {4} m=n=0 {5} m=0 かつ n=0 |
| {6} n=0 {7} n≠0 |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(i), (ii)の考察から、方程式S(x)=0が異なる2つの解α,βをもつとき、
P(x)をS(x)で割った余りが定数になることと[ツ]であることは同値である。
(3) pを定数とし、P(x)=x^10−2x^9−px^2−5x,
S(x)=x^2−x−2の場合を考える。P(x)をS(x)で割った余りが定数になる
とき、p=[ニヌ]となり、その余りは[ネノ]となる。
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
複素数などの解説記事→
http://a-ema.seesaa.net/article/499546077.html━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
★★★★★★★「AE個別学習室(えまじゅく)」生徒募集!★★★★★★★★
★ ★
★ 茨城県水戸市、常陸太田市の個別指導教室 ★
★ 「AE個別学習室(えまじゅく)」では、生徒募集をしています。 ★
★ 対象は小学生・中学生・高校生・浪人生。社会人も歓迎します! ★
★ オンライン授業も好評です!全国の生徒さんに対応可能です。 ★
★ ★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
えまじゅくでは、経験豊富なプロ講師のマンツーマン授業が受けられます。
授業料が最大で40%引きになる、2人〜4人の同時指導も好評です!
今年も何人もの生徒さんが、第一志望(以上)の結果を出してくれました。
興味をお持ちの方は、まずは mm@a-ema.com までお問い合わせください。
家庭教師・塾のサイトと連絡先はここ →
http://www.a-ema.com/━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
■ 解説目次
◆1 高次方程式や複素数についてもブログをご覧ください
◆2 まずは文章を式で表す
(以下略)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
=========================== お知らせ2 ===============================
ブログにて様々な問題を解説しています!
■ センター数学を理由の理由まで解説するブログ
http://centermath.seesaa.net/■ センター英語をひとつひとつ解説するブログ
http://a-emaenglish.seesaa.net/■ 何でも解説するブログ(塾&家庭教師ブログ)
http://a-ema.seesaa.net/紙の書籍、電子書籍もご利用ください。
中学・高校の英語・数学の書籍を出版しています。
★江間淳(えまあつし)の書籍一覧 →
http://amzn.to/2lnKZdS------------------------------------------------------------------------
■ 解説
◆1 高次方程式や複素数についてもブログをご覧ください
2024年共通テスト数学2B第1問[2]では、高次方程式、複素数に関する問題が
出題されました。
高次方程式を解く際には、剰余の定理・因数定理を使うことが多いです。
複素数については、まずは√(−1)=iですね。
その他複素数や高次方程式についての様々なポイントをブログ記事で解説して
います。
http://a-ema.seesaa.net/article/499546077.html用語などの基本事項や標準的な問題の練習に活用してください。
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
◆2 まずは文章を式で表す
では今回の問題です。
「S(x)をxの2次式とする。xの整式P(x)をS(x)で割ったときの商を
T(x),余りをU(x)とする。ただし、S(x)とP(x)係数は実数であるとする。」
まず最初にこのような設定の説明があります。
文章を読んだだけでは、これらの関係がわかりにくいと思いますので、式に直して
おきましょう!そのまま式に直せば・・・
P(x)÷S(x)=T(x)あまりU(x)
ですね。つまり、
P(x)=S(x)×T(x)+U(x)
という形に直すことができます。
(以下略)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.html数学1A2B本試験の全問題を詳細に解説。\550/月。初月無料。火・金配信。
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
発行者 江間淳(EMA Atsushi)
mm@a-ema.com
http://www.a-ema.com/k/ https://twitter.com/A_EMA_RYU youtube EMA Atsushiチャンネル:
https://www.youtube.com/@emajuku------------------------------------------------------------------------
無断転載・引用を禁じます。
=========================== お知らせ3 ===============================
5万人以上の利用実績がある勉強アプリ。英語・数学・化学など。
★印のものはGooglePlayでも公開中です。「江間淳」で検索してみてくださいね!
★【高校数学】読むだけでわかる!数学1Aの考え方
http://pmana.jp/pc/pm586.html【高校数学】読むだけでわかる!数学2Bの考え方
http://pmana.jp/pc/pm743.html【高校数学】読むだけでわかる!数学3の考え方
http://pmana.jp/pc/pm730.html★【高校英語】センター試験徹底トレーニング
http://pmana.jp/pc/pm588.html★【高校化学】読むだけでわかる!理論・無機・有機化学の考え方
http://pmana.jp/pc/pm603.html【高校物理】読むだけでわかる!物理基礎・物理の考え方
http://pmana.jp/pc/pm729.html【中学5科】高校入試の重要ポイント
http://pmana.jp/pc/pm707.html