◆問題
第２問 ペットボトルロケットに関する探求の過程についての次の文章を読み、後の問い(問１～５)に答えよ。
図１は、ペットボトルロケットの模式図である。ペットボトルの飲み口には栓のついた細い管(ノズル)が取り付けられていて、内部には水と圧縮空気が閉じ込められている。ノズルの栓を開くとその先端から下向きに水が噴出する。ペットボトルとノズルはそれぞれ断面積Ｓ0，ｓの円筒形とする。考えやすくするために、以下の計算では、水の運動による摩擦(粘性)、空気抵抗、大気圧、重力の影響は無視する。
まず、図１のように、ペットボトルがストッパーで固定されている場合を考える。
問１ 次の文章中の空欄[ア]・[イ]に入れる式の組合せとして最も適当なものを、後の①～⑧のうちから１つ選べ。[ 7 ]
ノズルから噴出する水の速さをｕとするとき、短い時間Δｔの間に噴出する水の体積ΔＶはΔＶ＝[ア]と表される。また、ΔＶは、ペットボトル内で下降する水面の速さｕ0を用いて表すこともできるから、ΔＶを消去してｕ0を求めると、ｕ0＝[イ]が得られる。したがって、ｕの値が同じであれば、ノズルを細くすればするほどｕ0は小さくなる。
解答はア，イそれぞれを選ぶ形に書き換えました。
[ア]・・・ｓｕ，ｓｕ2，ｓｕΔｔ，ｓｕ2・Δｔ
[イ]・・・√(ｓ／Ｓ0)・ｕ，(ｓ／Ｓ0)ｕ
解答はこのページ下に掲載します。
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◆解答
2024年第２問は、ペットボトルロケットを題材とした設問でした。
まずは「短い時間Δｔの間に噴出する水の体積ΔＶ」を求めます。
ノズルから噴出する水の速さはｕだから、その短い時間Δｔの間には、水はｕ・Δｔだけ進みます。
そして、ノズルの断面積はｓだから、求める体積は
ΔＶ＝ｓｕΔｔ
となります。
続いて、「ペットボトル内で下降する水面の速さｕ0を用いて」ΔＶを表します。
ペットボトル内の断面積はＳ0，ノズルの断面積はｓだから、ペットボトル内の水面が下降する速さはノズル内の水が進む速さのｓ／Ｓ0倍となります。
文字でわかりにくい場合は、例えばペットボトルの断面積を１００，ノズルの断面積を１０などとして考えてみると良いと思います。この例ならば、ペットボトル内の水面が下降する速さはノズル内の１／１０になることが簡単にわかりますね？
というわけで、ｕ0＝(ｓ／Ｓ0)ｕとなります。
ちなみに、もとの共通テストの問題の解答としては、ΔＶ＝ｓｕΔｔ，ｕ0＝(ｓ／Ｓ0)ｕの組合せは⑥です。
次の問題→噴出した水の質量Δｍと圧縮空気がした仕事Ｗ'
◆関連項目
等加速度運動
力～エネルギー、力のモーメントなど
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