本日配信のメルマガでは、2024年大学入学共通テスト数学２Ｂ第２問を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.htmlリクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。
■ 問題
2024年共通テスト数２Ｂより
第２問
ｍをｍ＞１を満たす定数とし、ｆ(ｘ)＝３(ｘ－１)(ｘ－ｍ)とする。また、
Ｓ(ｘ)＝∫[0～x]ｆ(ｔ)ｄｔとする。関数ｙ＝ｆ(ｘ)とｙ＝Ｓ(ｘ)のグラフの関係に
ついて考えてみよう。
(1) ｍ＝２のとき、すなわち、ｆ(ｘ)＝３(ｘ－１)(ｘ－２)のときを考える。
(i) ｆ'(ｘ)＝０となるｘの値はｘ＝[ア]／[イ]である。
(ii) Ｓ(ｘ)を計算すると
Ｓ(ｘ)＝∫[0～x]ｆ(ｔ)ｄｔ
＝∫[0～x](３ｔ^2－[ウ]ｔ＋[エ])ｄｔ
＝ｘ^3－([オ]／[カ])ｘ^2＋[キ]ｘ
であるから
ｘ＝[ク]のとき、Ｓ(ｘ)は極大値[ケ]／[コ]をとり
ｘ＝[サ]のとき、Ｓ(ｘ)は極小値[シ]をとることがわかる。
(iii) ｆ(３)と一致するものとして、次の{0}～{4}のうち、正しいものは[ス]で
ある。
[ス]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} Ｓ(３) ｜
｜{1} ２点(２，Ｓ(２))，(４，Ｓ(４))を通る直線の傾き ｜
｜{2} ２点(０，０)，(３，Ｓ(３))を通る直線の傾き ｜
｜{3} 関数ｙ＝Ｓ(ｘ)のグラフ上の点(３，Ｓ(３))における接線の傾き ｜
｜{4} 関数ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフ上の点(３，ｆ(３))における接線の傾き ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(2) ０≦ｘ≦１の範囲で、関数ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフとｘ軸およびｙ軸で囲まれた
図形の面積をＳ1，１≦ｘ≦ｍの範囲で、関数ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフとｘ軸で囲まれた
図形の面積をＳ2とする。このとき、Ｓ1＝[セ]，Ｓ2＝[ソ]である。
Ｓ1＝Ｓ2となるのは[タ]＝０のときであるから、Ｓ1＝Ｓ2が成り立つようなｆ(ｘ)
に対する関数ｙ＝Ｓ(ｘ)のグラフの概形は[チ]である。また、Ｓ1＞Ｓ2が成り立つ
ようなｆ(ｘ)に対する関数ｙ＝Ｓ(ｘ)のグラフの概形は[ツ]である。
[セ]，[ソ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ∫[0～1]ｆ(ｘ)ｄｘ {1} ∫[0～m]ｆ(ｘ)ｄｘ {2} ∫[1～m]ｆ(ｘ)ｄｘ｜
｜{3} ∫[0～1]{－ｆ(ｘ)}ｄｘ {4} ∫[0～m]{－ｆ(ｘ)}ｄｘ ｜
｜{5} ∫[1～m]{－ｆ(ｘ)}ｄｘ ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[タ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ∫[0～1]ｆ(ｘ)ｄｘ {1} ∫[0～m]ｆ(ｘ)ｄｘ ｜
｜{2} ∫[1～m]ｆ(ｘ)ｄｘ {3} ∫[0～1]ｆ(ｘ)ｄｘ－∫[0～m]ｆ(ｘ)ｄｘ ｜
｜{4} ∫[0～1]ｆ(ｘ)ｄｘ－∫[1～m]ｆ(ｘ)ｄｘ ｜
｜{5} ∫[0～1]ｆ(ｘ)ｄｘ＋∫[0～m]ｆ(ｘ)ｄｘ ｜
｜{6} ∫[0～m)ｆ(ｘ)ｄｘ＋∫[1～m]ｆ(ｘ)ｄｘ ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[チ]，[ツ]については、最も適当なものを、次の{0}～{5}のうちから１つずつ選べ。
ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
http://www.a-ema.com/img/2024m2b2.png(3) 関数ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフの特徴から関数ｙ＝Ｓ(ｘ)のグラフの特徴を考えて
みよう。
関数ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフは直線ｘ＝[テ]に関して対称であるから、すべての正
の実数ｐに対して
∫[1-p～1]ｆ(ｘ)ｄｘ＝[m～[ト]]ｆ(ｘ)ｄｘ ……{1}
が成り立ち、Ｍ＝[テ]とおくと０＜ｑ≦Ｍ－１であるすべての実数ｑに対して
∫[M-q～M]{－ｆ(ｘ)}ｄｘ＝∫[M～[ナ]]{－ｆ(ｘ)}ｄｘ ……{2}
が成り立つことがわかる。すべての実数α，βに対して
∫[α～β]ｆ(ｘ)ｄｘ＝Ｓ(β)－Ｓ(α)
が成り立つことに注意すれば、{1}と{2}はそれぞれ
Ｓ(１－ｐ)＋Ｓ([ト])＝[ニ]
２Ｓ(Ｍ)＝[ヌ]
となる。
以上から、すべての正の実数ｐに対して、２点(１－ｐ，Ｓ(１－ｐ))，
([ト]，Ｓ([ト]))を結ぶ線分の中点についての記述として、後の{0}～{5}のうち、
最も適当なものは[ネ]である。
[テ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ｍ {1} ｍ／２ {2} ｍ＋１ {3} (ｍ＋１)／２ ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ト]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} １－ｐ {1} ｐ {2} １＋ｐ {3} ｍ－ｐ {4} ｍ＋ｐ ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ナ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} Ｍ－ｑ {1} Ｍ {2} Ｍ＋ｑ ｜
｜{3} Ｍ＋ｍ－ｑ {4} Ｍ＋ｍ {5} Ｍ＋ｍ＋ｑ ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ニ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} Ｓ(１)＋Ｓ(ｍ) {1} Ｓ(１)＋Ｓ(ｐ) {2} Ｓ(１)－Ｓ(ｍ) ｜
｜{3} Ｓ(１)－Ｓ(ｐ) {4} Ｓ(ｐ)－Ｓ(ｍ) {5} Ｓ(ｍ)－Ｓ(ｐ) ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ヌ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} Ｓ(Ｍ－ｑ)＋Ｓ(Ｍ＋ｍ－ｑ) {1} Ｓ(Ｍ－ｑ)＋Ｓ(Ｍ＋ｍ) ｜
｜{2} Ｓ(Ｍ－ｑ)＋Ｓ(Ｍ) {3} ２Ｓ(Ｍ－ｑ) ｜
｜{4} Ｓ(Ｍ＋ｑ)＋Ｓ(Ｍ－ｑ) {5} Ｓ(Ｍ＋ｍ＋ｑ)＋Ｓ(Ｍ－ｑ) ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ネ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ｘ座標はｐの値によらず１つに定まり、ｙ座標はｐの値により変わる。 ｜
｜{1} ｘ座標はｐの値により変わり、ｙ座標はｐの値によらず１つに定まる。 ｜
｜{2} 中点はｐの値によらず１つに定まり、関数ｙ＝Ｓ(ｘ)のグラフ上にある。｜
｜{3} 中点はｐの値によらず１つに定まり、関数ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフ上にある。｜
｜{4} 中点はｐの値によって動くが、つねに関数ｙ＝Ｓ(ｘ)のグラフ上にある。｜
｜{5} 中点はｐの値によって動くが、つねに関数ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフ上にある。｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
微分積分まとめ→
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■ 解説目次
◆１ 微分積分についてもブログで解説しています
◆２ ｆ'(ｘ)はｆ(ｘ)を微分
◆３ ｆ(ｘ)を代入して積分
(以下略)
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■ 解説
◆１ 微分積分についてもブログで解説しています
2024年共通テストも数学２Ｂ第２問は、微分積分の問題でした。
微分は基本的に接線の傾きを表し、
・接線
・傾き
・増減表
・最大最小
などを扱います。
積分は微分の逆で、主に、
・面積
・体積
を扱います。
微分積分についても、ブログで様々なポイントを解説しています。
基本的な方法や解き方の確認に活用してください。
微分積分まとめ→
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◆２ ｆ'(ｘ)はｆ(ｘ)を微分
では今回の問題です。
まず「ｍをｍ＞１を満たす定数とし、ｆ(ｘ)＝３(ｘ－１)(ｘ－ｍ)とする」という
条件が与えられています。
そして(1)では「ｍ＝２のとき、すなわち、ｆ(ｘ)＝３(ｘ－１)(ｘ－２)のとき」
について考えます。
最初の設問(i)では、「ｆ'(ｘ)＝０となるｘの値」を聞いているので、その通りに
計算していきましょう！
ｆ(ｘ)＝３(ｘ^2－３ｘ＋２)＝３ｘ^2－９ｘ＋６
だから、
ｆ'(ｘ)＝６ｘ－９
です。
これがイコールゼロなので、６ｘ－９＝０よりｘ＝９／６＝３／２
よって、[ア]＝３，[イ]＝２
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◆３ ｆ(ｘ)を代入して積分
続いてＳ(ｘ)を計算します。
Ｓ(ｘ)＝∫[0～x]ｆ(ｔ)ｄｔと与えられています。
そして、◆２でも求めたように、ｆ(ｘ)＝３ｘ^2－９ｘ＋６だから、
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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