2024年04月03日

高校数学「数列」an,bnを組み合わせた漸化式B

高校数学「数列」an,bnを組み合わせた漸化式B

◆問題

次の条件によって定められる数列{an},{bn}がある。

1=1,b1=3,an+1=3an+2bn,bn+1=2an+3bn

(1) 数列{an+bn}の一般項を求めよ。

(2) 数列{an−bn}の一般項を求めよ。

(3) 数列{an},{bn}をそれぞれ求めよ。


↓(3)の解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

(1)で、an+bn=4・5n-1
(2)で、an−bn=−2

を求めました。
これらを組み合わせれば、anとbnが求められそうですね!

まず、2式を足すと、

2an=4・5n-1−2
 an=2・5n-1−1

これでanが出ました。

続いてbnです。
2式を引いてみれば良いですね。

2bn=4・5n-1+2
 bn=2・5n-1+1

これだけで完成です!


この問題の最初に戻る→数列{an+bn}


◆関連項目
n+1=3an−2,a1=2で表される数列の一般項漸化式で表された等差数列漸化式で表された等比数列
数列まとめ


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ラベル:数学
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高校数学「数列」第10項までの和が6,第20項までの和が24の等比数列@

高校数学「数列」第10項までの和が6,第20項までの和が24の等比数列@

■ 問題

第10項までの和が6,第20項までの和が24の等比数列が{an}がある。ただし、初項、公比は実数とする。

(1) 数列{an}の第30項までの和を求めよ。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。
10秒でわかる!高校数学2B数列の考え方


■ 解答解説

まずは問題の設定からわかることを式に表してみましょう!
初項と公比はわかっていないので、a,rとして式を立ててみます。

10=a(r10−1)/(r−1)=6
20=a(r20−1)/(r−1)=24

そのまんまですが、こんな式が立てられますね。
10次式、20次式などとなっているのを見て諦めたくなってしまう人もいると思いますが、ちょっと工夫すると意外と簡単(?)です。

(r10)2=r20であることを利用して、S20の式を因数分解してみましょう!

 a(r20−1)/(r−1)
=a(r10−1)(r10+1)/(r−1)

もちろんこのように変形することができます。
そして、この式の中にはS10と共通する部分がありますね!

={a(r10−1)/(r−1)}(r10+1)

このように書き換えてみると、中括弧の中がS10と全く同じです。
つまり、

=6(r10+1)

と置き換えることができます。
さらに、S20=24だから、

6(r10+1)=24
 r10+1=4
   r10=3

ここまでわかったことを活用すれば、S30も何とかなりそうですね!
まずはS30を表します。

30=a(r30−1)/(r−1)

もちろんこうなります。因数分解してみると、

 =a(r10−1)(r20+r10+1)/(r−1)

3乗の因数分解の公式を使ってみました。
S20のときと同様に、S10に置き換えられそうですね!

 ={a(r10−1)/(r−1)}(r20+r10+1)

これまた中括弧の中身はS10と同じです。
また、r10=3がわかっているので、それぞれ置き換えて計算してみましょう!

 =6(32+3+1)
 =6(9+4)
 =6×13
 =78


次の問題→第31項から第40項までの和


◆関連項目
第3項が27,第6項が−729である等比数列の一般項
等比数列の和
数列まとめ


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ラベル:数学
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本日配信のメルマガ。2024年共通テスト英語第4問 完成

本日配信のメルマガでは、2024年大学入学共通テスト英語第4問の最後までを解説します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題

2024年大学入学共通テストより

第4問

Your college English club's room has several problems and you want to
redesign it. Based on the following article and the results of a
questionnaire given to members, you make a handout for a group discussion.

┌────────────────────────────────────┐
|          [What Makes a Good Classroom?]           |
|      Diana Bashworth, writer at Trends in Education       |
|                                    |
| As many schools work to improve their classrooms, it is important to |
|have some ideas for making design decisions. SIN, which stands for   |
|Stimulation, Individualization, and Naturalness, is a framework that  |
|might be helpful to consider when designing classrooms.         |
| The first, Stimulation, has two aspects: color and complexity. This  |
|has to do with the ceiling, floor, walls, and interior furnishings. For |
|example, a classroom that lacks colors might be uninteresting. On the  |
|other hand, a classroom should not be too colorful. A bright color could|
|be used on one wall, on the floor, window coverings, or furniture. In  |
|addition, it can be visually distracting to have too many things    |
|displayed on walls. It is suggested that 20 to 30 percent of wall space |
|remain free.                              |
| The next item in the framework is Individualization, which includes  |
|two considerations: ownership and flexibility. Ownership refers to   |
|whether the classroom feels personalized. Examples of this include   |
|having chairs and desks that are suitable for student sizes and ages,  |
|and providing storage space and areas for displaying student works or  |
|projects. Flexibility is about having a classroom that allows for    |
|different kinds of activities.                     |
| Naturalness relates to the quality and quantity of light, both natural|
|and artificial, and the temperature of the classroom. Too much natural |
|light may make screens and boards difficult to see; students may have  |
|difficulty reading or writing if there is a lack of light. In addition, |
|hot summer classrooms do not promote effective study. Schools should  |
|install systems allowing for the adjustment of both light and      |
|temperature.                              |
| While Naturalness is more familiar to us, and therefore often     |
|considered the priority, the other components are equally important.  |
|Hopefully, these ideas can guide your project to a successful end.   |
└────────────────────────────────────┘

┌────────────────────────────────────┐
|          [Results of the Questionnaire]           |
|                                    |
|[Q1: Choose any items that match your use of the English club's room.] |
|┌───────────────────―──────────────┐|
||                     Number of club members = 38||
||    Chatting in English |■4                  ||
||   Chatting in Japanese |■■■■■■■■30           ||
||Checking out English books |■■8                 ||
||  Doing English homework |■■■10                ||
|| Playing smartphone games |■■■■■18              ||
||         Sleeping |■■■■■■■■■32          ||
||           Other |■■■12                ||
|└──────────────────────────────────┘|
|                                    |
|[Q2: What do you think about the current English club's room?]     |
|Main comments:                             |
|Student 1(S1): I can't see the projector screen and whiteboard well on a|
| sunny day. Also, there's no way to control the temperature.      |
|S2: By the windows, the sunlight makes it hard to read. The other side |
| of the room doesn't get enough light. Also, the books are disorganized|
| and the walls are covered with posters. It makes me feel uncomfortable.|
|S3: The chairs don't really fit me and the desks are hard to move when |
| we work in small groups. Also, lots of members speak Japanese, even  |
| though it's an English club.                     |
|S4: The pictures of foreign countries on the walls make me want to speak|
| English. Everyone likes the sofas――they are so comfortable that we |
| often use the room for sleeping!                   |
|S5: The room is so far away, so I hardly ever go there! Aren't there  |
| other rooms available?                        |
|S6: There's so much gray in the room. I don't like it. But it's good  |
| that there are plenty of everyday English phrases on the walls!    |
└────────────────────────────────────┘

Your discussion handout:
┌────────────────────────────────────┐
|           [Room Improvement Project]            |
|                                    |
|[■ SIN Framework]                           |
|− What it is: [ 24 ]                          |
|− SIN = Stimulation, Individualization, Naturalness          |
|                                    |
|[■ Design Recommendations Based on SIN and Questionnaire Results]   |
|− Stimulation:                             |
|  Cover the floor with a colorful rug and [ 25 ].           |
|                                    |
|− Individualization:                          |
|  Replace room furniture.                       |
|  (tables with wheels → easy to move around)             |
|                                    |
|− Naturalness:                             |
|  [ 26 ]                                |
|  A.Install blinds on windows.                    |
|  B.Make temperature control possible.                |
|  C.Move projector screen away from windows.             |
|  D.Place sofas near walls.                     |
|  E.Put floor lamp in darker corner.                 |
|                                    |
|[■ Other Issues to Discuss]                      |
|− The majority of members [ 27 ] the room as [ 28 ]'s comment     |
| mentioned. How can we solve this?                   |
|− Based on both the graph and [ 29 ]'s comment, should we set a    |
| language rule in the room to motivate members to speak English more? |
|− S5 doesn't like the location, but we can't change the room, so let's |
| think about how to encourage members to visit more often.       |
└────────────────────────────────────┘

問1 Choose the best option for [ 24 ].
{1} A guide to show which colors are appropriate to use in classrooms
{2} A method to prioritize the needs of students and teachers in classrooms
{3} A model to follow when planning classroom environments
{4} A system to understand how classrooms influence students' performance

問2 Choose the best option for [ 25 ].
{1} move the screen to a better place
{2} paint each wall a different color
{3} put books on shelves
{4} reduce displayed items

問3 You are checking the handout. You notice an error in the
recommendations under Naturalness. Which of the following should you
[remove]? [ 26 ]
{1} A
{2} B
{3} C
{4} D
{5} E

問4 Choose the best option for [ 27 ] and [ 28 ].
[ 27 ]
{1} borrow books from
{2} can't easily get to
{3} don't use Japanese in
{4} feel anxious in
{5} take naps in

[ 28 ]
{1} S1
{2} S2
{3} S3
{4} S4
{5} S5
{6} S6

問5 Choose the best option for [ 29 ].
{1} S1
{2} S2
{3} S3
{4} S4
{5} S5
{6} S6


※一部の図や記号は省略または類似のものに変更、マーク部分の□や下線部は[ ]、
マル1は{1}で表記しています。

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■ 問いの内容と解説

問1 Choose the best option / for [ 24 ].
最適な選択肢を選びなさい / [ 24 ]に

資料の冒頭

[■ SIN Framework]
− What it is: [ 24 ]
− SIN = Stimulation, Individualization, Naturalness

この部分ですね。SIN Frameworkとは何か?を選びます。

{1} A guide / to show / which colors are appropriate to use / in classrooms
ガイド / 見せるための / どの色を使うのが適切かを / 教室で
→色についての言及はありましたが、SINはそれだけではありません。

{2} A method / to prioritize / the needs / of students and teachers
/ in classrooms


(以下略)


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日本史「55年体制」保守政権の安定B

日本史「55年体制」保守政権の安定B

◆問題

空欄に適語を入れてください。

1965年以降、ベトナム戦争が本格化すると、沖縄を含む日本はアメリカ軍の前線基地となり、戦争にともなうドル支払いは日本経済成長を促進した。「基地の島」沖縄では祖国復帰を求める住民の運動が続き、その返還問題が改めて浮上した。

佐藤内閣は「(核兵器を)もたず、つくらず、もちこませず」の非核三原則を掲げ、1968年に(@)の返還を実現し、翌年の日米首脳会議(A)は「核抜き」の沖縄返還で合意した。1971年に(B)協定が調印され、翌年沖縄の日本復帰は実現したが、アメリカ軍基地は存続することになった。


解答はこのページ下


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一問一答もおすすめです!→山川一問一答 日本史


◆解答

@小笠原諸島、A佐藤・ニクソン会議、B沖縄返還

1965年以降、ベトナム戦争が本格化すると、沖縄を含む日本はアメリカ軍の前線基地となり、戦争にともなうドル支払いは日本経済成長を促進した。「基地の島」沖縄では祖国復帰を求める住民の運動が続き、その返還問題が改めて浮上した。

佐藤内閣は「(核兵器を)もたず、つくらず、もちこませず」の非核三原則を掲げ、1968年に小笠原諸島の返還を実現し、翌年の日米首脳会議(佐藤・ニクソン会議)は「核抜き」の沖縄返還で合意した。1971年に沖縄返還協定が調印され、翌年沖縄の日本復帰は実現したが、アメリカ軍基地は存続することになった。


前の問題→保守政権の安定A
次の問題→朝鮮特需と経済復興@


近代・現代まとめ
近世まとめ中世まとめ原始・古代まとめ


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