本日配信のメルマガでは、2024年大学入学共通テスト数学１Ａ第５問の(2)の(ii)までを解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.htmlリクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。
■ 問題
2024年共通テスト数１Ａより
第５問
図１のように、平面上に５点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅがあり、線分ＡＣ，ＣＥ，ＥＢ，
ＢＤ，ＤＡによって、星形の図形ができるときを考える。線分ＡＣとＢＥの交点を
Ｐ，ＡＣとＢＤの交点をＱ，ＢＤとＣＥの交点をＲ，ＡＤとＣＥの交点をＳ，ＡＤと
ＢＥの交点をＴとする。
http://www.a-ema.com/img/2024m1a5_1.png図１
ここでは
ＡＰ：ＰＱ：ＱＣ＝２：３：３，ＡＴ：ＴＳ：ＳＤ＝１：１：３
を満たす星形の図形を考える。
以下の問題において比を解答する場合は、最も簡単な整数の比で答えよ。
(1) △ＡＱＤと直線ＣＥに着目すると
(ＱＲ／ＲＤ)・(ＤＳ／ＳＡ)・([ア]／ＣＱ)＝１
が成り立つので
ＱＲ：ＲＤ＝[イ]：[ウ]
となる。また、△ＡＱＤと直線ＢＥに着目すると
ＱＢ：ＢＤ＝[エ]：[オ]
となる。したがって
ＢＱ：ＱＲ：ＲＤ＝[エ]：[イ]：[ウ]
となることがわかる。
[ア]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ＡＣ {1} ＡＰ {2} ＡＱ {3} ＣＰ {4} ＰＱ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(2) ５点Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ，Ｔが同一円周上にあるとし、ＡＣ＝８であるとする。
(i) ５点Ａ，Ｐ，Ｑ，Ｓ，Ｔに着目すると、ＡＴ：ＡＳ＝１：２よりＡＴ＝√[カ]
となる。さらに、５点Ｄ，Ｑ，Ｒ，Ｓ，Ｔに着目するとＤＲ＝４√３となることが
わかる。
(ii) ３点Ａ，Ｂ，Ｃを通る円と点Ｄとの位置関係を、次の[構想]に基づいて調べ
よう。
┌―[構想]―――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜線分ＡＣとＢＤの交点Ｑに着目し、ＡＱ・ＣＱとＢＱ・ＤＱの大小を比べる。｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
まず、ＡＱ・ＣＱ＝５・３＝１５かつＢＱ・ＤＱ＝[キク]であるから
ＡＱ・ＣＱ[ケ]ＢＱ・ＤＱ ……{1}
が成り立つ。また、３点Ａ，Ｂ，Ｃを通る円と直線ＢＤとの交点のうち、Ｂと異なる
点をＸとすると
ＡＱ・ＣＱ[コ]ＢＱ・ＸＱ ……{2}
が成り立つ。{1}と{2}の左辺は同じなので、{1}と{2]の右辺を比べることにより、
ＸＱ[サ]ＤＱが得られる。したがって、点Ｄは３点Ａ，Ｂ，Ｃを通る円の[シ]にある。
[ケ]～[サ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ {0} ＜ {1} ＝ {2} ＞ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[シ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ {0} 内部 {1} 周上 {2} 外部 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
つづく
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}
で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 平面図形の性質は、中学の内容も重要！
◆２ 分数３つでイコール１だからメネラウスの定理
(以下略)
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■ 解説
◆１ 平面図形の性質は、中学の内容も重要！
2024年共通テストも数学１Ａ第５問は平面図形の性質が出題されました。
センター試験では、この問題では、主にメネラウスの定理や方べきの定理を使う
問題が出題されていましたが、共通テストでは、性質自体は中学レベルで、設定が
ややこしい問題が出題される傾向になってきたようです。
・相似な図形
・円と接線
・円に内接する四角形
・三角形の重心、内心、外心
・二等辺三角形、正三角形
・平行線の性質
特にこれらの性質や定理が使われ割合が増えたと思います。
とは言っても、もちろん、メネラウスの定理や方べきの定理などの高校の内容も
出題されています。
皆さんは、これらの用語を見て、「アレだな！」と思い出すことができましたか？
もし怪しい場合は、教科書や参考書などを見て、再確認しておくことをおすすめ
します！
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◆２ 分数３つでイコール１だからメネラウスの定理
今回の問題では、星形の図形について考えます。
点がたくさん出てくるので、図をよく見て考える必要がありますね！
問題文にも掲載しましたが、ここにも改めて図のURLを掲載しますので、図を確認
しながら考えていきましょう！
http://www.a-ema.com/img/2024m1a5_1.pngでは(1)です。
「△ＡＱＤと直線ＣＥに着目すると
(ＱＲ／ＲＤ)・(ＤＳ／ＳＡ)・([ア]／ＣＱ)＝１
が成り立つ」
とあります。
分数の各辺とイコール１という記述から・・・
つづく
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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