本日配信のメルマガでは、2024年大学入学共通テスト数学２Ｂ第１問[2]を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.htmlリクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。
■ 問題
2024年共通テスト数２Ｂより
第１問
[2] Ｓ(ｘ)をｘの２次式とする。ｘの整式Ｐ(ｘ)をＳ(ｘ)で割ったときの商を
Ｔ(ｘ)，余りをＵ(ｘ)とする。ただし、Ｓ(ｘ)とＰ(ｘ)係数は実数であるとする。
(1) Ｐ(ｘ)＝２ｘ^3＋７ｘ^2＋１０ｘ＋５，Ｓ(ｘ)＝ｘ^2＋４ｘ＋７の場合を
考える。
方程式Ｓ(ｘ)＝０の解はｘ＝[コサ]±√[シ]ｉである。
また、Ｔ(ｘ)＝[ス]ｘ－[セ]，Ｕ(ｘ)＝[ソタ]である。
(2) 方程式Ｓ(ｘ)＝０は異なる２つの解α，βをもつとする。このとき
Ｐ(ｘ)をＳ(ｘ)で割った余りが定数になる
ことと同値な条件を考える。
(i) 余りが定数になるときを考えてみよう。
仮定から、定数ｋを用いてＵ(ｘ)＝ｋとおける。このとき[チ]したがって、
余りが定数になるとき、[ツ]が成り立つ。
[チ]については、最も適当なものを、次の{0}～{3}のうちから１つ選べ。
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} Ｐ(α)＝Ｐ(β)＝ｋが成り立つことから、Ｐ(ｘ)＝Ｓ(ｘ)Ｔ(ｘ)＋ｋ｜
｜ となることが導かれる。また、Ｐ(α)＝Ｐ(β)＝ｋが成り立つこと ｜
｜ から、Ｓ(α)＝Ｓ(β)＝０となることが導かれる ｜
｜{1} Ｐ(ｘ)＝Ｓ(ｘ)Ｔ(ｘ)＋ｋかつＰ(α)＝Ｐ(β)＝ｋが成り立つこと ｜
｜ から、Ｓ(α)＝Ｓ(β)＝０となることが導かれる ｜
｜{2} Ｓ(α)＝Ｓ(β)＝０が成り立つことから、Ｐ(ｘ)＝Ｓ(ｘ)Ｔ(ｘ)＋ｋ｜
｜ となることが導かれる。また、Ｓ(α)＝Ｓ(β)＝０が成り立つこと ｜
｜ から、Ｐ(α)＝Ｐ(β)＝ｋとなることが導かれる ｜
｜{3} Ｐ(ｘ)＝Ｓ(ｘ)Ｔ(ｘ)＋ｋかつＳ(α)＝Ｓ(β)＝０が成り立つこと ｜
｜ から、Ｐ(α)＝Ｐ(β)＝ｋとなることが導かれる ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ツ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ {0} Ｔ(α)＝Ｔ(β) {1} Ｐ(α)＝Ｐ(β) ｜
｜ {2} Ｔ(α)≠Ｔ(β) {3} Ｐ(α)＝Ｐ(β) ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――┘
(ii) 逆に[ツ]が成り立つとき、余りが定数になるかを調べよう。
Ｓ(ｘ)が２次式であるから、ｍ，ｎを定数としてＵ(ｘ)＝ｍｘ＋ｎとおける。
Ｐ(ｘ)をＳ(ｘ)，Ｔ(ｘ)，ｍ，ｎを用いて表すと、Ｐ(ｘ)＝[テ]となる。この等式の
ｘに、α，βをそれぞれ代入すると[ト]となるので、[ツ]とα≠βより[ナ]となる。
以上から余りが定数になることがわかる。
[テ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ {0} (ｍｘ＋ｎ)Ｓ(ｘ)Ｔ(ｘ) {1} Ｓ(ｘ)Ｔ(ｘ)＋ｍｘ＋ｎ ｜
｜ {2} (ｍｘ＋ｎ)Ｓ(ｘ)＋Ｔ(ｘ) {3} (ｍｘ＋ｎ)Ｔ(ｘ)＋Ｓ(ｘ) ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ト]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ {0} Ｐ(α)＝Ｔ(α) かつ Ｐ(β)＝Ｔ(β) ｜
｜ {1} Ｐ(α)＝ｍα＋ｎ かつ Ｐ(β)＝ｍβ＋ｎ ｜
｜ {2} Ｐ(α)＝(ｍα＋ｎ)Ｔ(α) かつ Ｐ(β)＝(ｍβ＋ｎ)Ｔ(β) ｜
｜ {3} Ｐ(α)＝Ｐ(β)＝０ ｜
｜ {4} Ｐ(α)≠０ かつ Ｐ(β)≠０ ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ナ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ {0} ｍ≠０ {1} ｍ≠０ かつ ｎ＝０ ｜
｜ {2} ｍ≠０ かつ ｎ≠０ {3} ｍ＝０ ｜
｜ {4} ｍ＝ｎ＝０ {5} ｍ＝０ かつ ｎ＝０ ｜
｜ {6} ｎ＝０ {7} ｎ≠０ ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(i), (ii)の考察から、方程式Ｓ(ｘ)＝０が異なる２つの解α，βをもつとき、
Ｐ(ｘ)をＳ(ｘ)で割った余りが定数になることと[ツ]であることは同値である。
(3) ｐを定数とし、Ｐ(ｘ)＝ｘ^10－２ｘ^9－ｐｘ^2－５ｘ，
Ｓ(ｘ)＝ｘ^2－ｘ－２の場合を考える。Ｐ(ｘ)をＳ(ｘ)で割った余りが定数になる
とき、ｐ＝[ニヌ]となり、その余りは[ネノ]となる。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
高次方程式等まとめ→
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■ 解説目次
◆１ 高次方程式や複素数についてもブログをご覧ください
◆２ まずは文章を式で表す
(以下略)
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■ 解説
◆１ 高次方程式や複素数についてもブログをご覧ください
2024年共通テスト数学２Ｂ第１問[2]では、高次方程式、複素数に関する問題が
出題されました。
高次方程式を解く際には、剰余の定理・因数定理を使うことが多いです。
複素数については、まずは√(－１)＝ｉですね。
その他複素数や高次方程式についての様々なポイントをブログ記事で解説して
います。
http://a-ema.seesaa.net/article/499546077.html用語などの基本事項や標準的な問題の練習に活用してください。
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◆２ まずは文章を式で表す
では今回の問題です。
「Ｓ(ｘ)をｘの２次式とする。ｘの整式Ｐ(ｘ)をＳ(ｘ)で割ったときの商を
Ｔ(ｘ)，余りをＵ(ｘ)とする。ただし、Ｓ(ｘ)とＰ(ｘ)係数は実数であるとする。」
まず最初にこのような設定の説明があります。
文章を読んだだけでは、これらの関係がわかりにくいと思いますので、式に直して
おきましょう！そのまま式に直せば・・・
Ｐ(ｘ)÷Ｓ(ｘ)＝Ｔ(ｘ)あまりＵ(ｘ)
ですね。つまり、
Ｐ(ｘ)＝Ｓ(ｘ)×Ｔ(ｘ)＋Ｕ(ｘ)
という形に直すことができます。
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.html数学１Ａ２Ｂ本試験の全問題を詳細に解説。\550/月。初月無料。火・金配信。
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