本日配信のメルマガでは、2024年大学入学共通テスト数学２Ｂ第４問を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.htmlリクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。
■ 問題
2024年共通テスト数２Ｂより
第４問
(1) 数列{ａn}が
ａn+1－ａn＝１４ (ｎ＝１，２，３，…)
を満たすとする。
ａ1＝１０のとき、ａ2＝[アイ]，ａ3＝[ウエ]である。
数列{ａn}の一般項は、初項ａ1を用いて
ａn＝ａ1＋[オカ](ｎ－１)
と表すことができる。
(2) 数列{ｂn}が
２ｂn+1－ｂn＋３＝０ (ｎ＝１，２，３，…)
を満たすとする。
数列{ｂn}の一般項は、初項ｂ1を用いて
ｂn＝(ｂ1＋[キ])([ク]／[ケ])^(n-1)－[コ]
と表すことができる。
(3) 太郎さんは
(ｃn＋３)(２ｃn+1－ｃn＋３)＝０ (ｎ＝１，２，３，…) …{1}
を満たす数列{Ｃn}について調べることにした。
(i)
・数列{ｃn}が{1}を満たし、ｃ1＝５のとき、ｃ2＝[サ]である。
・数列{ｃn}が{1}を満たし、ｃ3＝－３のとき、ｃ2＝[シス]，ｃ1＝[セソ]である。
(ii) 太郎さんは、数列{ｃn}が{1}を満たし、ｃ3＝－３となる場合について考えている。
ｃ3＝－３のとき、ｃ4がどのような値でも
(ｃ3＋３)(２ｃ4－ｃ3＋３)＝０
が成り立つ。
・数列{ｃn}が{1}を満たし、ｃ3＝－３，ｃ4＝５のとき
ｃ1＝[セソ]，ｃ2＝[シス]，ｃ3＝－３，ｃ4＝５，ｃ5＝[タ]
である。
・数列{ｃn}が{1}を満たし、ｃ3＝－３，ｃ4＝８３のとき
ｃ1＝[セソ]，ｃ2＝[シス]，ｃ3＝－３，ｃ4＝８３，ｃ5＝[チツ]
である。
(iii) 太郎さんは(i)と(ii)から、ｃn＝－３となることがあるかどうかに着目し、
次の[命題Ａ]が成り立つのではないかと考えた。
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜[命題Ａ] 数列{ｃn}が{1}を満たし、ｃ1≠－３であるとする。このとき、 ｜
｜ 全ての自然数ｎについてｃn≠－３である。 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[命題Ａ]が真であることを証明するには、[命題Ａ]の過程を満たす数列{ｃn}に
ついて、[テ]を示せばよい。
実際、このようにして[命題Ａ]が真であることを証明できる。
[テ]については、最も適当なものを、次の{0}～{4}のうちから一つ選べ。
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ｃ2≠－３かつｃ3≠－３であること ｜
｜{1} ｃ100≠－３かつｃ200≠－３であること ｜
｜{2} ｃ100≠－３ならばｃ101≠－３であること ｜
｜{3} ｎ＝ｋのときｃn≠－３が成り立つと仮定すると、ｎ＝ｋ＋１のときも ｜
｜ ｃn≠－３が成り立つこと ｜
｜{4} ｎ＝ｋのときｃn＝－３が成り立つと仮定すると、ｎ＝ｋ＋１のときも ｜
｜ ｃn＝－３が成り立つこと ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(iv) 次の(１), (２)，(３)は、数列{ｃn}に関する命題である。
(１) ｃ1＝３かつｃ100＝－３であり、かつ{1}を満たす数列{ｃn}がある。
(２) ｃ1＝－３かつｃ100＝－３であり、かつ{1}を満たす数列{ｃn}がある。
(３) ｃ1＝－３かつｃ100＝３であり、かつ{1}を満たす数列{ｃn}がある。
(１), (２)，(３)の真偽の組合せとして正しいものは[ト]である。
[ト]の解答群
┌―┬―┬―┬―┬―┬―┬―┬―┐
｜０｜１｜２｜３｜４｜５｜６｜７｜
┌―┼―┼―┼―┼―┼―┼―┼―┼―┤
｜１｜真｜真｜真｜真｜偽｜偽｜偽｜偽｜
├―┼―┼―┼―┼―┼―┼―┼―┼―┤
｜２｜真｜真｜偽｜偽｜真｜真｜偽｜偽｜
├―┼―┼―┼―┼―┼―┼―┼―┼―┤
｜３｜真｜偽｜真｜偽｜真｜偽｜真｜偽｜
└―┴―┴―┴―┴―┴―┴―┴―┴―┘
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
数列まとめ→
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■ 解説目次
◆１ 2024年の数列は漸化式
◆２ ２項間の差が１４
◆３ １４ずつ足すから公差は１４
(以下略)
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■ 解説
◆１ 2024年の数列は漸化式
2024年数学２Ｂ第４問は数列で、漸化式が主なポイントの問題でした。
漸化式とは複数の項の関係を表す式で、様々な数列を表すことができます。
等差数列、等比数列といった初歩的な数列の場合もあれば、階差数列を用いた数列
さらにそれらの複合などの場合もあります。
数列はその種類によって解き方が全く異なるものも多いので、一つ一つの方法を
しっかりマスターしておく必要があります。
ブログでは様々な用語・公式・問題を解説していますので、このメルマガとあわせて
ご利用ください。
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◆２ ２項間の差が１４
では早速最初の問題です。
ａn+1－ａn＝１４ (ｎ＝１，２，３，…)
という漸化式が与えられています。
このままでも全く問題ありませんが、これを見慣れた形に直せば、
ａn+1＝ａn＋１４
と書き換えることができます。ａnを移項しただけですね。
つまり、「ｎ＋１項目はｎ項目に１４を足した数」を意味しています。
ａ1＝１０だから、ａ2＝２４，ａ3＝３８ですね！
よって、[アイ]＝２４，[ウエ]＝３８
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◆３ １４ずつ足すから公差は１４
そして、この数列{ａn}の一般項を求めます。
次の項にいく度に１４を足すのだから、この数列は等差数列ですね！
そして、公差は１４です。
等差数列の一般項の公式は、
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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