本日配信のメルマガでは、2024年大学入学共通テスト数学２Ｂ第３問を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.htmlリクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。
■ 問題
2024年共通テスト数２Ｂより
第３問
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて４７ページの正規分布表を
用いてもよい。また、ここでの[晴れ]の定義については、気象庁の天気概況の
「快晴」または「晴」とする。
※正規分布表はブログにも掲載しています。
http://a-ema.seesaa.net/article/503202201.html(1) 太郎さんは、自分が住んでいる地域において、日曜日に[晴れ]となる確率を
考えている。
[晴れ]の場合は１，[晴れ]以外の場合は０の値をとる確率変数をＸと定義する。
また、Ｘ＝１である確率をｐとすると、その確率分布は表１のようになる。
表１
―――┬――――――┬―――
Ｘ │ ０ １ │ 計
―――┼――――――┼―――
確率│１－ｐ ｐ ｜ １
―――┴――――――┴―――
この確率変数Ｘの平均(期待値)をｍとすると
ｍ＝[ア]
となる。
太郎さんは、ある期間における連続したｎ週の日曜日の天気を、表１の確率分布を
もつ母集団から無作為に抽出した大きさｎの標本とみなし、それらのＸを確率変数
Ｘ1，Ｘ2，…，Ｘnで表すことにした。そして、その標本平均を利用して、母平均ｍ
を推定しようと考えた。実際にｎ＝３００として晴れの日数を調べたところ、表２の
ようになった。
表 ２
――――┬――――
天気 │ 日数
――――┼――――
晴れ │ 75
――――┼――――
晴れ以外｜ 225
――――┼――――
計 ｜ 300
――――┴――――
母標準偏差をσとすると、ｎ＝３００は充分に大きいので、標本平均は近似的に
正規分布Ｎ(ｍ，[イ])に従う。
一般に、母標準偏差σがわからないとき、標本の大きさｎが大きければ、σの
かわりに標本の標準偏差Ｓを用いてもよいことが知られている。Ｓは
http://www.a-ema.com/img/2024m2b3.pngで計算できる。ここで、Ｘ1^2＝Ｘ1，Ｘ2^2＝Ｘ2，…，Ｘn^2＝Ｘnであることに
着目し、右辺を整理すると、Ｓ＝√[エ]と表されることがわかる。
よって、表２より、大きさｎ＝３００の標本から求められる母平均ｍに対する
信頼度９５％の信頼区間は[オ]となる。
[ア]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ｐ {1} ｐ^2 {2} １－ｐ {3} (１－ｐ)^2 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[イ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} σ {1} σ^2 {2} σ／ｎ {3} σ^2／ｎ {4} σ／√ｎ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ウ]，[エ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} 標本平均 {1} (標本平均)^2 ｜
｜{2} 標本平均・(１－標本平均) {3} １－標本平均 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[オ]については、最も適当なものを、次の{0}～{5}のうちから一つ選べ。
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ０．２０１≦ｍ≦０．２９９ {1} ０．２０９≦ｍ≦０．２９１ ｜
｜{2} ０．２２５≦ｍ≦０．２５０ {3} ０．２５５≦ｍ≦０．２７５ ｜
｜{4} ０．２４７≦ｍ≦０．２５３ {5} ０．２５０≦ｍ≦０．２７５ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(2) ある期間において、「ちょうど３週続けて日曜日の天気が[晴れ]になること」が
どのくらいの頻度で起こり得るのかを考察しよう。以下では、連続するｋ週の日曜日
の天気について、(1)の太郎さんが考えた確率変数のうちＸ1，Ｘ2，…，Ｘkを用いて
調べる。ただし、ｋは３以上300以下の自然数とする。
Ｘ1，Ｘ2，…，Ｘkの値を順に並べたときの０と１からなる列において、
「ちょうど３つ続けて１が現れる部分」をＡとし、Ａの個数を確率変数Ｕkで表す。
例えば、ｋ＝２０とし、Ｘ1，Ｘ2，…，Ｘ20の値を順に並べたとき
１，１，１，１，０，[１，１，１]，０，０，１，１，１，１，１，０，０，[１，１，１]
Ａ Ａ
であったとする。この例では、下線部分(ここでは[ ]で囲んだ部分)はＡを示して
おり、１が４つ以上続く部分はＡとはみなさないので、Ｕ20＝２となる。
ｋ＝４のとき、Ｘ1，Ｘ2，Ｘ3，Ｘ4のとり得る値と、それに対応したＵ4の値を
書き出すと、表３のようになる。
表 ３
―――――――――――┬――――
Ｘ1 Ｘ2 Ｘ3 Ｘ4 │ Ｕ4
―――――――――――┼――――
０ ０ ０ ０ │ ０
１ ０ ０ ０ │ ０
０ １ ０ ０ │ ０
０ ０ １ ０ │ ０
０ ０ ０ １ │ ０
１ １ ０ ０ │ ０
１ ０ １ ０ │ ０
１ ０ ０ １ │ ０
０ １ １ ０ │ ０
０ １ ０ １ │ ０
０ ０ １ １ │ ０
１ １ １ ０ │ １
１ １ ０ １ │ ０
１ ０ １ １ │ ０
０ １ １ １ │ １
１ １ １ １ │ ０
―――――――――――┴――――
ここで、Ｕkの期待値を求めてみよう。(1)におけるｐの値をｐ＝１／４とする。
ｋ＝４のとき、Ｕkの期待値は
Ｅ(Ｕ4)＝[カ]／１２８
となる。ｋ＝５のときＵ5の期待値は
Ｅ(Ｕ5)＝[キク]／１０２４
となる。
４以上のｋについて、ｋとＥ(Ｕk)の関係を詳しく調べると、座標平面上の点
(４，Ｅ(Ｕ4))，(５，Ｅ(Ｕ5))，…，(３００，Ｅ(Ｕ300))は一つの直線上にある
ことがわかる。この事実によって
Ｅ(Ｕ300)＝[ケコ]／[サ]
となる。
＿
※Ｘは「標本平均」、分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 確率統計の解説も行います！
◆２ 平均(期待値)は「値×確率」の合計
(以下略)
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■ 解説
◆１ 確率統計の解説も行います！
2025年の共通テストでは、数学２Ｂの選択問題が１問増えて、確率統計を使う人が
多くなりそうです。というわけで、このメルマガでも第３問の解説も配信することに
しました。
数学１Ａの場合の数・確率とデータの分析の発展的な内容となります。
ブログには、期待値(平均)、分散、標準偏差、二項分布、正規分布、統計的な推測
などの標準的な問題と解説も掲載しています。
基本的なやり方や公式が怪しい！という人はまずはブログの解説をご覧ください。
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◆２ 平均(期待値)は「値×確率」の合計
では早速最初の設問について考えていきましょう！
「晴れ」を１，それ以外の天気を０として、確率変数Ｘについて考える問題となって
います。晴れの確率はｐ，それ以外の確率は１－ｐと与えられていますね。
この条件で平均(期待値)を求めます。
期待値は「値×確率」の合計だから、
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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