本日配信のメルマガでは、2023年大学入学共通テスト数学２Ｂ第１問[1]を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2023年共通テスト数２Ｂより
第１問
[1] 三角関数の値の大小関係について考えよう。
(1) ｘ＝π／６のときｓｉｎｘ[ア]ｓｉｎ２ｘであり、ｘ＝(２／３)πのとき
ｓｉｎｘ[イ]ｓｉｎ２ｘである。
[ア]，[イ]の解答群
┌―――――――――――――――――――┐
｜ {0} ＜ {1} ＝ {2} ＞ ｜
└―――――――――――――――――――┘
(2) ｓｉｎｘとｓｉｎ２ｘの大小関係を詳しく調べよう。
ｓｉｎ２ｘ－ｓｉｎｘ＝ｓｉｎｘ([ウ]ｃｏｓｘ－[エ])
であるから、ｓｉｎ２ｘ－ｓｉｎｘ＞０が成り立つことは
「ｓｉｎｘ＞０ かつ [ウ]ｃｏｓｘ－[エ]＞０」 ……{1}
または
「ｓｉｎｘ＜０ かつ [ウ]ｃｏｓｘ－[エ]＜０」 ……{2}
が成り立つことと同値である。０≦ｘ≦２πのとき、{1}が成り立つようなｘの値の
範囲は
０＜ｘ＜π／[オ]
であり、{2}が成り立つようなｘの値の範囲は
π＜ｘ＜([カ]／[キ])π
である。よって、０≦ｘ≦２πのとき、ｓｉｎ２ｘ＞ｓｉｎｘが成り立つような
ｘの値の範囲は
０＜ｘ＜π／[オ]，π＜ｘ＜([カ]／[キ])π
である。
(3) ｓｉｎ３ｘとｓｉｎ４ｘの値の大小関係を調べよう。
三角関数の加法定理を用いると、等式
ｓｉｎ(α＋β)－ｓｉｎ(α－β)＝２ｃｏｓαｓｉｎβ ……{3}
が得られる。α＋β＝４ｘ，α－β＝３ｘを満たすα，βに対して{3}を用いる
ことにより、ｓｉｎ４ｘ－ｓｉｎ３ｘ＞０が成り立つことは
「ｃｏｓ[ク]＞０ かつ ｓｉｎ[ケ]＞０] ……{4}
または
「ｃｏｓ[ク]＜０ かつ ｓｉｎ[ケ]＜０] ……{5}
が成り立つことと同値であることがわかる。
０≦ｘ≦πのとき、{4}，{5}により、ｓｉｎ４ｘ＞ｓｉｎ３ｘが成り立つような
ｘの値の範囲は
０＜ｘ＜π／[コ]，([サ]／[シ])π＜ｘ＜([ス]／[セ])π
である。
[ク]，[ケ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ {0} ０ {1} ｘ {2} ２ｘ {3} ３ｘ ｜
｜ {4} ４ｘ {5} ５ｘ {6} ６ｘ {7} ｘ／２ ｜
｜ {8} (３／２)ｘ {9} (５／２)ｘ {a} (７／２)ｘ {b} (９／２)ｘ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(4) (2), (3)の考察から、０≦ｘ≦πのとき、ｓｉｎ３ｘ＞ｓｉｎ４ｘ＞ｓｉｎ２ｘ
が成り立つようなｘの値の範囲は
π／[コ]＜ｘ＜π／[ソ]，([ス]／[セ])π＜ｘ＜([タ]／[チ])π
であることがわかる。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
三角関数まとめ→
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■ 解説目次
◆１ ２倍角は加法定理でα＋αの場合
◆２ サインの値を出すだけ
(以下略)
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■ 解説
◆１ ２倍角は加法定理でα＋αの場合
2023年共通テスト数学２Ｂ第１問[1]では、三角関数の問題が出題されました。
今回の問題では特に、サインの２倍角がポイントとなっています。
２倍角の公式は加法定理から簡単に導くことができます。
まずはサインの加法定理。
★ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ
この角度の部分がα＋α＝２αになった場合が２倍角です。
つまり、ｓｉｎ(α＋α)＝ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓαｓｉｎαだから、
★ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα
です。
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◆２ サインの値を出すだけ
では今回の問題です。
(1) ｘ＝π／６のときｓｉｎｘ[ア]ｓｉｎ２ｘであり、ｘ＝(２／３)πのとき
ｓｉｎｘ[イ]ｓｉｎ２ｘである。
ｓｉｎｘとｓｉｎ２ｘの大小関係を比べる問題です。
ｘの値が与えられているので、２倍角の公式を使うまでもなく、普通に値を出せば
比較できますね！
ｘ＝π／６のとき、
ｓｉｎｘ＝ｓｉｎ(π／６)＝１／２
ｓｉｎ２ｘ＝ｓｉｎ(π／３)＝√３／２
だから、ｓｉｎｘ＜ｓｉｎ２ｘです。
ｘ＝(２／３)πのとき
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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