■ 問題
次の等式がｘについての恒等式になるように、ａ，ｂの値を定めよ。
(ｘ＋８)／{(ｘ－２)(ｘ＋３)}＝ａ／(ｘ－２)＋ｂ／(ｘ＋３)
解答解説はこのページ下
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■ 解答解説
恒等式とは、ｘの値にかかわらず常に成り立つ式です。
イコールの左右がいつでも等しいので「恒等式」です。
だから、「恒等式になるように」するには、両辺の係数比較をして、イコールで結べばＯＫです。
今回の問題では、右辺を通分すると左辺と等しい分母になりそうですね。
(右辺)＝{ａ(ｘ＋３)＋ｂ(ｘ－２)}／{(ｘ－２)(ｘ＋３)}
このようにすると、両辺の分母が等しくなりました。
分母がすでに等しいので、あとは分子が等しくなれば恒等式です。
つまり、
ｘ＋８＝ａ(ｘ＋３)＋ｂ(ｘ－２)
です。
係数比較をするために、右辺をさらにｘについて整理します。
ａ(ｘ＋３)＋ｂ(ｘ－２)
＝ａｘ＋３ａ＋ｂｘ－２ｂ
＝(ａ＋ｂ)ｘ＋３ａ－２ｂ
両辺の係数を比較すると、
ａ＋ｂ＝１，３ａ－２ｂ＝８
ですね。
あとはこれらの連立方程式を解くだけです。
２ａ＋２ｂ＝２
＋）３ａ－２ｂ＝８
―――――――――
５ａ ＝１０
ａ＝２
これをａ＋ｂ＝１に代入すると、
２＋ｂ＝１
ｂ＝－１
というわけで、求めるａ，ｂの値は、
ａ＝２，ｂ＝－１
◆関連項目
ａ＋ｂ＋ｃ＝０のとき
等式の証明の基本的な方法
式と証明まとめ
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