高校物理「力学」建物の屋上から水平に物体を投げたとき�B

高校物理「力学」建物の屋上から水平に物体を投げたとき�B

◆問題

高さＨ[ｍ]の建物の屋上から、質量ｍ[ｋｇ]の物体を水平方向に速さｖ₀[ｍ／ｓ]で投げ出した。
位置エネルギーの基準を地面とし、重力加速度をｇ[ｍ／ｓ²]として、次の問いに答えよ。

(1) 投げ出した直後の運動エネルギーと重力による位置エネルギーを求めよ。

(2) 地面から高さｈ[ｍ]の点を通過するときの物体の速さを求めよ。

(3) 地面に達する直前の物体の速さを求めよ。


(3)の解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

(2)と同様に、水平方向と鉛直方向の速さを合成する。という方針です。
やはり、力学的エネルギーの保存を使って求めていきましょう！

空中では水平方向には力を受けないとみなして、水平方向の速さは初速と同じくｖ₀です。

力学的エネルギーの保存より、位置エネルギー減少分が運動エネルギーになっているはずです。
地面に達する直前では、もともと持っていた位置エネルギーが全て運動エネルギーに変わったと考えられるので、

(１／２)ｍｖ²＝ｍｇＨ
　　　　ｖ²＝２ｇＨ
　　　　ｖ＝√(２ｇＨ)

つまり、地面に達する直前での鉛直方向の速さは√(２ｇＨ)です。

水平方向と鉛直方向の速さがそれぞれわかったので、あとは合成します。

求める速さをｖ_地とすると、

ｖ_地²＝ｖ₀²＋２ｇＨ
ｖ_地＝√(ｖ₀²＋２ｇＨ)


というわけで、地面に達する直前の速さは、√(ｖ₀²＋２ｇＨ)[ｍ／ｓ]


この問題の最初に戻る→投げ出した直後の運動エネルギーと重力による位置エネルギー


◆関連項目
力〜エネルギー、力のモーメントなど


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本日配信のメルマガ。2023年共通テスト数学２Ｂ第２問[1]

本日配信のメルマガでは、2023年大学入学共通テスト数学２Ｂ第２問[1]を解説します。


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■　問題

2023年共通テスト数２Ｂより

第２問

[1]

(1) ｋを正の定数とし、次の３次関数を考える。

　　ｆ(ｘ)＝ｘ^2・(ｋ−ｘ)

　ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフとｘ軸との共有点の座標は(０，０)と([ア]，０)である。

　ｆ(ｘ)の導関数ｆ'(ｘ)は

　　ｆ'(ｘ)＝[イウ]ｘ^2＋[エ]ｋｘ

である。

　ｘ＝[オ]のとき、ｆ(ｘ)は極小値[カ]をとる。
　ｘ＝[キ]のとき、ｆ(ｘ)は極大値[ク]をとる。

　また、０＜ｘ＜ｋの範囲においてｘ＝[キ]のときは最大となることがわかる。

[ア]，[オ]〜[ク]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ０　　{1} (１／３)ｋ　　{2} (１／２)ｋ　　{3} (２／３)ｋ　　　　　　　｜
｜{4} ｋ　　{5} (３／２)ｋ　　{6} −４ｋ^2　　{7} (１／８)ｋ^2　　　　　　　｜
｜{8} (２／２７)ｋ^3　　{9} (４／２７)ｋ^3　　{a} (４／９)ｋ^3　　{b} ４ｋ^3｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘


(2) 後の図のように底面が半径９の円で高さが１５の円錐に内接する円柱を考える。
円柱の底面の半径と体積をそれぞれｘ，Ｖとする。Ｖをｘの式で表すと

　　Ｖ＝([ケ]／[コ])πｘ^2・([サ]−ｘ)　(０＜ｘ＜９)

である。(1)の考察より、ｘ＝[シ]のときＶは最大となることがわかる。Ｖの最大値
は[スセソ]πである。


図はこちら→http://www.a-ema.com/img/center2023math2b21.png


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

　　微分積分まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/478475977.html

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■　解説目次

　◆１　導関数は傾きを表す
　◆２　極値では導関数の値(＝微分係数)が０
　◆３　ｘ軸上はｙ＝０
　◆４　導関数だから微分

(以下略)

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■　解説


◆１〜２は省略します。


　◆３　ｘ軸上はｙ＝０

では今回の問題です。

関数ｆ(ｘ)＝ｘ^2・(ｋ−ｘ)が与えられていて、このｙ＝ｆ(ｘ)とｘ軸との交点を
求めます。

ｘ軸上はｙ＝０だから、イコールゼロで解けばＯＫ！ですね！

ｘ^2・(ｋ−ｘ)＝０

よって、ｘ^2＝０よりｘ＝０，ｋ−ｘ＝０よりｘ＝ｋが得られます。

つまり、ｘ軸との交点は(０，０)と(ｋ，０)ですね。

よって、[ア]＝４


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　◆４　導関数だから微分

続いてｆ'(ｘ)を求めます。

導関数は普通に微分の計算ですね。
◆１でも触れたように、

★　ｙ＝ｘ^nならば、ｙ'＝ｎｘ^(n-1)

です。

ｆ(ｘ)＝ｘ^2・(ｋ−ｘ)
　　　＝ｋｘ^2−ｘ^3
　　　＝−ｘ^3＋ｋｘ^2　　←解答の形式に近づくように、順番を入れ替えた

ｆ'(ｘ)＝・・・


(以下略)


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