高校物理「力学」2022年共通テスト第1問 問4より
◆問題
問4 理想気体が容器内に閉じ込められている。図4はこの気体の圧力pと体積Vの関係を表している。はじめに状態Aにあった気体を定積変化させ状態Bにした。次に状態Bから断熱変化させ状態Cにした。さらに状態Cから定圧変化させ状態Aに戻した。状態A,B,Cの内部エネルギーUA,UB,UCの関係を表す式を答えよ。
解答はこのページ下に掲載します。
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◆解答
まず、状態AはpもVもB,Cより低いので、内部エネルギーも一番低いと判断できます。
主な問題は、BとCの大小関係になると思います。
「状態Bから断熱変化させて状態Cにした」という説明があります。
断熱変化は気体が外部と熱のやりとりをせずに状態を変える過程のことです。
「熱をやりとりしない」ということは、した仕事またはされた仕事によってのみ内部エネルギーが変化する。というわけです。
BからCまでの間には体積が増加しています。
体積が増加したということは、この気体は外部に仕事をしたと考えられます。
外部に仕事をしたならば、その分内部エネルギーが減少しているはずですね。
つまり、「UB>UC」です。
UAはこれら3つの中で一番小さいので、まとめると、
UA<UC<UB
これが解答です。
実際の共通テストの解答としては、Aです。
◆関連項目
断熱変化
気体の内部エネルギー
熱力学まとめ
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2024年07月16日
本日配信のメルマガ。2023年共通テスト数学2B第2問[2]
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http://www.mag2.com/m/0001641004.html
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■ 問題
2023年共通テスト数2Bより
第2問
[2]
(1) 定積分∫[0〜30]{(1/5)x+3}dxの値は[タチツ]である。
また、関数(1/100)x^2−(1/6)x+5の不定積分は
∫{(1/100)x^2−(1/6)x+5}dx
=(1/[テトナ])x^3−(1/[ニヌ])x^2+[ネ]x+C
である。ただし、Cは積分定数とする。
(2) ある地域では、毎年3月頃「ソメイヨシノ(桜の種類)の開花予想日」が話題に
なる。太郎さんと花子さんは、開花日時を予想する方法の一つに、2月に入ってから
の気温を時間の関数とみて、その関数を積分した値をもとにする方法があることを
知った。ソメイヨシノの開花日時を予想するために、二人は図1の6時間ごとの
気温の折れ線グラフを見ながら、次のように考えることにした。
図1はこちら→http://www.a-ema.com/img/center2023math2b22a.png
図1 6時間ごとの気温の折れ線グラフ
xの値の範囲を0以上の実数全体として、2月1日午前0時から24x時間経った
時点をx日後とする。(例えば、10.3日後は2月11日午前7時12分を表す。)
また、x日後の気温をy℃とする。このとき、yはxの関数であり、これを
y=f(x)とおく。ただし、yは負にはならないものとする。
気温を表す関数f(x)を用いて二人はソメイヨシノの開花日時を次の[設定]で
考えることにした。
┌―[設定]――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| 正の整数tに対して、f(x)を0からtまで積分した値をS(t)とする。 |
|すなわち、S(t)=∫[0〜t]f(x)dxとする。このS(t)が400に到達した|
|とき、ソメイヨシノが開花する。 |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[設定]のもと、太郎さんは気温を表す関数y=f(x)のグラフを図2のように直線と
みなしてソメイヨシノの開花日時を考えることにした。
図2はこちら→http://www.a-ema.com/img/center2023math2b22b.png
図2 図1のグラフと、太郎さんが直線とみなしたy=f(x)のグラフ
(i) 太郎さんは
f(x)=(1/5)x+3 (x≧0)
として考えた。このとき、ソメイヨシノの開花日時は2月に入ってから[ノ]となる。
[ノ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 30日後 {1} 35日後 {2} 40日後 |
|{3} 45日後 {4} 50日後 {5} 55日後 |
|{6} 60日後 {7} 65日後 |
└――――――――――――――――――――――――┘
(ii) 太郎さんと花子さんは、2月に入ってから30日後以降の気温について話を
している。
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|太郎:1次関数を用いてソメイヨシノの開花日時を求めてみたよ。 |
|花子:気温の上がり方から考えて、2月に入ってから30日後以降の気温を |
| 表す関数が2次関数の場合も考えてみようか。 |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
花子さんは気温を表す関数f(x)を、0≦x≦30のときは太郎さんと同じように
f(x)=(1/5)x+3 ……{1}
とし、x≧30のときは
f(x)=(1/100)x^2−(1/6)x+5 ……{2}
として考えた。なお、x=30のとき{1} の右辺の値と{2}の右辺の値は一致する。
花子さんの考えた式を用いて、ソメイヨシノの開花日時を考えよう。(1)より
∫[0〜30]{(1/5)x+3)dx=[タチツ]
であり
∫[30〜40]{(1/100)x^2−(1/6)x+5}dx=115
となることがわかる。
また、x≧30の範囲においてf(x)は増加する。よって
∫[30〜40]f(x)dx[ハ]∫[40〜50]f(x)dx
であることがわかる。以上よりソメイヨシノの開花日時は2月に入ってから[ヒ]と
なる。
[ハ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――┐
|{0} < {1} = {2} > |
└――――――――――――――――――――――――┘
[ヒ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 30日後より前 |
|{1} 30日後 |
|{2} 30日後より後、かつ40日後より前 |
|{3} 40日後 |
|{4} 40日後より後、かつ50日後より前 |
|{5} 50日後 |
|{6} 50日後より後、かつ60日後より前 |
|{7} 60日後 |
|{8} 60日後より後 |
└――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
微分積分まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/478475977.html
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■ 解説目次
◆1 積分は微分の逆
◆2 基本的な定積分の計算
(以下略)
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■ 解説
◆1 積分は微分の逆
2023年共通テストも数学2B第2問は、微分積分の問題でした。
[2]は、主に積分に関する問題なので、積分について簡単に説明しておきます。
一言で言えば、「微分の逆が積分」です。
導関数f'(x)を積分すると、もとの関数f(x)になる。という関係です。
微分するときには、「指数を1下げて、もとの指数を係数に掛ける」という方法
だったので、積分するときはこれの逆をして、
★「指数を1上げて、新しい指数の逆数を掛ける」
とします。
★「指数を1増やして、もとの指数+1の逆数を掛ける」
と考えてもよいです。
例えば、x^2を積分すると、(1/3)x^3となります。
物理や図形の公式には、微分積分の関係になっているものがいくつもあるので、
探してみると良いですよ!
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◆2 基本的な定積分の計算
では今回の問題です。
(1) 定積分∫[0〜30]{(1/5)x+3}dxの値は[タチツ]である。
まずはコレを計算します。
定積分の計算は、「指数を1増やして、もとの指数+1の逆数をかける」そして、
「代入して引き算する」という手順です。
∫[0〜30]{(1/5)x+3}dx
=[(1/5)(1/2)x^2+3x][0〜30]
=[(1/10)x^2+3x][0〜30]
=(1/10)・30^2+3×30−0
=90+90
=180
よって、[タチツ]=180
(以下略)
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【高校数学】読むだけでわかる!数学2Bの考え方
http://pmana.jp/pc/pm743.html
【高校数学】読むだけでわかる!数学3の考え方
http://pmana.jp/pc/pm730.html
★【高校英語】センター試験徹底トレーニング
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★【高校化学】読むだけでわかる!理論・無機・有機化学の考え方
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【高校物理】読むだけでわかる!物理基礎・物理の考え方
http://pmana.jp/pc/pm729.html
【中学5科】高校入試の重要ポイント
http://pmana.jp/pc/pm707.html
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■ 問題
2023年共通テスト数2Bより
第2問
[2]
(1) 定積分∫[0〜30]{(1/5)x+3}dxの値は[タチツ]である。
また、関数(1/100)x^2−(1/6)x+5の不定積分は
∫{(1/100)x^2−(1/6)x+5}dx
=(1/[テトナ])x^3−(1/[ニヌ])x^2+[ネ]x+C
である。ただし、Cは積分定数とする。
(2) ある地域では、毎年3月頃「ソメイヨシノ(桜の種類)の開花予想日」が話題に
なる。太郎さんと花子さんは、開花日時を予想する方法の一つに、2月に入ってから
の気温を時間の関数とみて、その関数を積分した値をもとにする方法があることを
知った。ソメイヨシノの開花日時を予想するために、二人は図1の6時間ごとの
気温の折れ線グラフを見ながら、次のように考えることにした。
図1はこちら→http://www.a-ema.com/img/center2023math2b22a.png
図1 6時間ごとの気温の折れ線グラフ
xの値の範囲を0以上の実数全体として、2月1日午前0時から24x時間経った
時点をx日後とする。(例えば、10.3日後は2月11日午前7時12分を表す。)
また、x日後の気温をy℃とする。このとき、yはxの関数であり、これを
y=f(x)とおく。ただし、yは負にはならないものとする。
気温を表す関数f(x)を用いて二人はソメイヨシノの開花日時を次の[設定]で
考えることにした。
┌―[設定]――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| 正の整数tに対して、f(x)を0からtまで積分した値をS(t)とする。 |
|すなわち、S(t)=∫[0〜t]f(x)dxとする。このS(t)が400に到達した|
|とき、ソメイヨシノが開花する。 |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[設定]のもと、太郎さんは気温を表す関数y=f(x)のグラフを図2のように直線と
みなしてソメイヨシノの開花日時を考えることにした。
図2はこちら→http://www.a-ema.com/img/center2023math2b22b.png
図2 図1のグラフと、太郎さんが直線とみなしたy=f(x)のグラフ
(i) 太郎さんは
f(x)=(1/5)x+3 (x≧0)
として考えた。このとき、ソメイヨシノの開花日時は2月に入ってから[ノ]となる。
[ノ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 30日後 {1} 35日後 {2} 40日後 |
|{3} 45日後 {4} 50日後 {5} 55日後 |
|{6} 60日後 {7} 65日後 |
└――――――――――――――――――――――――┘
(ii) 太郎さんと花子さんは、2月に入ってから30日後以降の気温について話を
している。
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|太郎:1次関数を用いてソメイヨシノの開花日時を求めてみたよ。 |
|花子:気温の上がり方から考えて、2月に入ってから30日後以降の気温を |
| 表す関数が2次関数の場合も考えてみようか。 |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
花子さんは気温を表す関数f(x)を、0≦x≦30のときは太郎さんと同じように
f(x)=(1/5)x+3 ……{1}
とし、x≧30のときは
f(x)=(1/100)x^2−(1/6)x+5 ……{2}
として考えた。なお、x=30のとき{1} の右辺の値と{2}の右辺の値は一致する。
花子さんの考えた式を用いて、ソメイヨシノの開花日時を考えよう。(1)より
∫[0〜30]{(1/5)x+3)dx=[タチツ]
であり
∫[30〜40]{(1/100)x^2−(1/6)x+5}dx=115
となることがわかる。
また、x≧30の範囲においてf(x)は増加する。よって
∫[30〜40]f(x)dx[ハ]∫[40〜50]f(x)dx
であることがわかる。以上よりソメイヨシノの開花日時は2月に入ってから[ヒ]と
なる。
[ハ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――┐
|{0} < {1} = {2} > |
└――――――――――――――――――――――――┘
[ヒ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 30日後より前 |
|{1} 30日後 |
|{2} 30日後より後、かつ40日後より前 |
|{3} 40日後 |
|{4} 40日後より後、かつ50日後より前 |
|{5} 50日後 |
|{6} 50日後より後、かつ60日後より前 |
|{7} 60日後 |
|{8} 60日後より後 |
└――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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◆1 積分は微分の逆
◆2 基本的な定積分の計算
(以下略)
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■ 解説
◆1 積分は微分の逆
2023年共通テストも数学2B第2問は、微分積分の問題でした。
[2]は、主に積分に関する問題なので、積分について簡単に説明しておきます。
一言で言えば、「微分の逆が積分」です。
導関数f'(x)を積分すると、もとの関数f(x)になる。という関係です。
微分するときには、「指数を1下げて、もとの指数を係数に掛ける」という方法
だったので、積分するときはこれの逆をして、
★「指数を1上げて、新しい指数の逆数を掛ける」
とします。
★「指数を1増やして、もとの指数+1の逆数を掛ける」
と考えてもよいです。
例えば、x^2を積分すると、(1/3)x^3となります。
物理や図形の公式には、微分積分の関係になっているものがいくつもあるので、
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◆2 基本的な定積分の計算
では今回の問題です。
(1) 定積分∫[0〜30]{(1/5)x+3}dxの値は[タチツ]である。
まずはコレを計算します。
定積分の計算は、「指数を1増やして、もとの指数+1の逆数をかける」そして、
「代入して引き算する」という手順です。
∫[0〜30]{(1/5)x+3}dx
=[(1/5)(1/2)x^2+3x][0〜30]
=[(1/10)x^2+3x][0〜30]
=(1/10)・30^2+3×30−0
=90+90
=180
よって、[タチツ]=180
(以下略)
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