高校数学「微分」２曲線ｙ＝ｘｓｉｎｘ，ｙ＝ｃｏｓｘの交点における接線

高校数学「微分」２曲線ｙ＝ｘｓｉｎｘ，ｙ＝ｃｏｓｘの交点における接線

■　問題

２曲線ｙ＝ｘｓｉｎｘ，ｙ＝ｃｏｓｘの交点におけるそれぞれの接線は、互いに直交することを証明せよ。


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■　解答解説

「直交する」ということは、垂直条件ｍｍ'＝−１を満たす。と考えます。
それぞれの接線の傾きを求めて、積が−１になることを示せばＯＫですね！

ｙ＝ｘｓｉｎｘを微分して、
ｙ'＝ｓｉｎｘ＋ｘｃｏｓｘ

交点のｘ座標をｔとすると、ｙ＝ｘｓｉｎｘの接線の傾きｍは、
ｍ＝ｓｉｎｔ＋ｔｃｏｓｔ

もう一つの式ｙ＝ｃｏｓｘの方も同様に微分して、ｘにｔを代入していきます。
ｙ'＝−ｓｉｎｘ
ｘ＝ｔを代入すると、ｍ'＝−ｓｉｎｔ

これらの傾きを掛けたら−１になることを示します。
計算してみましょう！

　(ｓｉｎｔ＋ｔｃｏｓｔ)・(−ｓｉｎｔ)
＝−ｓｉｎ²ｔ−ｔｓｉｎｔｃｏｓｔ

交点のｘ座標をｔとしたので、ｘ＝ｔのときの２つの式のｙ座標は等しいはずです。
つまり、

ｔｓｉｎｔ＝ｃｏｓｔ

ということができます。
これにより、ｔｓｉｎｔをｃｏｓｔに置き換えると、

＝−ｓｉｎ²ｔ−ｃｏｓｔ・ｃｏｓｔ
＝−ｓｉｎ²ｔ−ｃｏｓ²ｔ
＝−１

というわけで、２つの関数の交点における接線の傾きの積は−１であることがわかりました。
つまり、これらの接線は互いに直交する。といえます。


◆関連項目
ｙ＝ｘ³−ｘ²の接線
直線の垂直条件
微分積分(数学３)まとめ


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高校数学「二項定理」(３ｘ−２)5の展開式

高校数学「二項定理」(３ｘ−２)⁵の展開式

■　問題

(３ｘ−２)⁵の展開式において、ｘ²の係数を求めよ。


解答解説はこのページ下


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■　解答解説

５乗の展開をすると、全ての項が５個の数をかけたものになります。
例えば今回の問題の式を普通に展開した場合、一番左端の項は３ｘを５回かけたものですね。
２番目の項は３ｘを４回、−２を１回かけたものになります。
その他の項も同様に、３ｘと−２を合計で５回かけたものになります。

今回の問題では、ｘ²の係数を求めるので、３ｘを２回、−２を３回かけたもの。と考えられます。
３ｘを２回、−２を３回の組み合わせ方はつまり、「５回中２回が３ｘ」だから、5Ｃ2のパターンある。というわけです。

だからｘ²の項は次のようになります。

　5Ｃ2・(３ｘ)²・(−２)³
＝１０・９ｘ²・(−８)
＝−７２０ｘ²

この問題では係数を聞いているので、答えは−７２０となります。


◆関連項目
式と証明まとめ


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高校数学「微分」２曲線ｙ＝(１／２)ｘ2＋ａとｙ＝１／ｘが接するとき

高校数学「微分」２曲線ｙ＝(１／２)ｘ²＋ａとｙ＝１／ｘが接するとき

■　問題

２曲線ｙ＝(１／２)ｘ²＋ａとｙ＝１／ｘが接するようなａの値を求めよ。


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■　解答解説

２曲線が接するという条件ですが、接点は与えられていないので、接点のｘ座標を例えばｔとおきます。

接点は２曲線の共有点なので、接点のｙ座標は等しいですね。
それぞれにｘ＝ｔを代入してイコールで結ぶことができます。

(１／２)ｔ²＋ａ＝１／ｔ

まずはこんな式ができました。
さらに、ｘ＝ｔにおける接線の傾きは等しくなりますね。
つまりｙ'も等しくなるはずだから、それぞれ微分してイコールで結びます。

ｙ＝(１／２)ｘ²＋ａ
ｙ'＝ｘ

ｙ＝１／ｘ
ｙ'＝−１／ｘ²

それぞれｘ＝ｔを代入してイコールで結ぶと、

ｔ＝−１／ｔ²

あとは連立して解けばＯＫですね！

ｔ＝−１／ｔ²
ｔ³＝−１
接点の座標は実数なので、ｔ＝−１
これは接点のｘ座標だから、ｙ＝１／ｘに代入すると、ｙ＝−１

(１／２)ｔ²＋ａ＝１／ｔにｔ＝−１を代入して、
１／２＋ａ＝−１
　　　　ａ＝−３／２

というわけで、２曲線が接するときはａ＝−３／２で、接点の座標は(−１，−１)です。


◆関連項目
ｙ＝ｘ³−ｘ²の接線
直線の垂直条件
微分積分(数学３)まとめ


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