本日配信のメルマガでは、2023年大学入学共通テスト数学１Ａ第３問を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2023年共通テスト数１Ａより
第３問
番号によって区別された複数の球が、何本かのひもでつながれている。ただし、
各ひもはその両端で二つの球をつなぐものとする。次の[条件]を満たす球の塗り
分け方(以下、球の塗り方)を考える。
┌[条件]―――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜・それぞれの球を、用意した５色(赤、青、黄、緑、紫)のうちのいずれか１色で｜
｜ 塗る。 ｜
｜・１本のひもでつながれた二つの球は異なる色になるようにする。 ｜
｜・同じ色を何回使ってもよく、また使わない色があってもよい。 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
例えば図Ａでは、三つの球が２本のひもでつながれている。この三つの球を塗る
とき、球１の塗り方が５通りあり、球１を塗った後、球２の塗り方は４通りあり、
さらに球３の塗り方は４通りある。したがって、球の塗り方の総数は８０である。
１ ３
＼ ／
２
図Ａ
(1) 図Ｂにおいて、球の塗り方は[アイウ]通りある。
１―２―３―４
図Ｂ
(2) 図Ｃにおいて、球の塗り方は[エオ]通りある。
１―――３
＼ ／
２
図Ｃ
(3) 図Ｄにおける球の塗り方のうち、赤をちょうど２回使う塗り方は[カキ]通りある。
１―４
｜ ｜
２―３
図Ｄ
(4) 図Ｅにおける球の塗り方のうち、赤をちょうど３回使い、かつ青をちょうど２回
使う塗り方は[クケ]通りある。
１
／／｜＼＼
２３ ４ ５６
図Ｅ
(5) 図Ｄにおいて、球の塗り方の総数を求める。
１―４
｜ ｜
２―３
図Ｄ
そのために、次の[構想]を立てる。
┌[構想]―――――――――――――――――――┐
｜ 図Ｄと図Ｆを比較する。 ｜
｜ １―４ ｜
｜ ｜ ｜
｜ ２―３ ｜
｜ 図Ｆ ｜
｜ ｜
└――――――――――――――――――――――┘
図Ｆでは球３と球４が同色になる球の塗り方が可能であるため、図Ｄよりも図Ｆ
の塗り方の総数の方が大きい。
図Ｆにおける球の塗り方は、図Ｂにおける球の塗り方と同じであるため、全部で
[アイウ]通りである。そのうち球３と球４が同色になる球の塗り方の総数と一致
する図として、{0}～{4}のうち、正しいものは[コ]である。したがって、図Ｄに
おける球の塗り方は[サシス]通りある。
[コ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――┐
｜ {0} {1} {2} ｜
｜ １ １ ３ １―３ ｜
｜ ｜ ＼ ／ ＼ ／ ｜
｜ ２ ２ ２ ｜
｜ ｜
｜ {3} {4} ｜
｜ １―４ １―４ ｜
｜ ｜ ｜ ＼ ／ ｜
｜ ２―３ ２―３ ｜
└――――――――――――――――――――――┘
(6) 図Ｇにおいて、球の塗り方は[セソタチ]通りある。
１
／ ＼
２ ５
＼ ／
３―４
図Ｇ
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ Ｐは順列、Ｃは組み合わせ
◆２ 同時に起こるなら×、同時に起こらないなら＋
◆３ 図Ａの場合を確認
◆４ 図Ｂは図Ａと同様に
(以下略)
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■ 解説
◆１，２は省略します。
◆３ 図Ａの場合を確認
それでは今回の問題です。
番号によって区別された複数の球が、何本かのひもでつながれている。ただし、
各ひもはその両端で二つの球をつなぐものとする。次の[条件]を満たす球の塗り
分け方(以下、球の塗り方)を考える。
┌[条件]―――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜・それぞれの球を、用意した５色(赤、青、黄、緑、紫)のうちのいずれか１色で｜
｜ 塗る。 ｜
｜・１本のひもでつながれた二つの球は異なる色になるようにする。 ｜
｜・同じ色を何回使ってもよく、また使わない色があってもよい。 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
このような条件で、様々な場合の塗り方を考えていきます。
最初に、「図Ａ」で例が示されています。
１ ３
＼ ／
２
図Ａ
この場合は、三つの球が２本のひもでつながれています。
この三つの球を塗るとき、球１の塗り方が５通りあります。
球１を塗った後、球２の塗り方は、球１とは違う色なので４通りあります。
球３は同様に４通りです。
これらは同時に成立するので、かけ算をして、５×４×４＝８０通り。
ここまでは問題に書いてある通りですが、問題に答えるためにも、まずはこの内容を
把握しておくとよいですね。
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◆４ 図Ｂは図Ａと同様に
ここからが本番です。
次は図Ｂを考えます。
１―２―３―４
図Ｂ
図Ａと同様に「塗り方」を考えると、
１は５通り、２は４通り、３も４通り、４も４通り。ですね。
これらは同時に起こるので、全部かけて・・・
つづく
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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