■問題
次の三角不等式を解け。ただし、０≦θ＜２πとする。
ｓｉｎ2θ−ｃｏｓ2θ＋ｓｉｎθ＜０
↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓
１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方
「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます！
■解答解説
サインとコサイン両方あるとやりにくいので、まずはどちらか片方に統一します。
この場合は、ｓｉｎθがあるので、コサインをサインに直して、サインだけの式にしてみましょう！
三角関数の相互関係より、ｓｉｎ2θ＋ｃｏｓ2θ＝１だから、ｃｏｓ2θ＝１−ｓｉｎ2θ
これを代入すると、
ｓｉｎ2θ−(１−ｓｉｎ2θ)＋ｓｉｎθ＞０
これでサインについての２次不等式になりました。
まずは普通に解いてサインの範囲を求めます。
ｓｉｎ2θ−１＋ｓｉｎ2θ＋ｓｉｎθ＞０
２ｓｉｎ2θ＋ｓｉｎθ−１＞０
(２ｓｉｎθ−１)(ｓｉｎθ＋１)＞０
よって、ｓｉｎθ＜−１，ｓｉｎθ＞１／２
これがｓｉｎθの範囲です。
あとは、これに対応するθの範囲を求めます。
サインの値は−１より小さくなることはないので、ｓｉｎθ＜−１を満たすθはありません。
だから、結局のところ、ｓｉｎθ＞１／２を満たす範囲を求めれば良いですね！
というわけで、π／６＜θ＜(５／６)π
◆関連問題
三角不等式ｃｏｓ２θ＋９ｓｉｎθ＋４＜０
三角関数まとめ、２次不等式
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ラベル：数学
