■ 問題
３次方程式ｘ3−３ｘ2−９ｘ＋ａ＝０が異なる２個の正の解と１個の負の解をもつようなａの値の範囲を求めよ。
解答解説はこのページ下に
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■ 解答解説
３次方程式でも、方程式の解はｘ軸との交点です。
だから、解の個数や範囲について考えるときは、３次関数とｘ軸との共有点を調べればＯＫです。
だから、結局やるべきことは極値ですね。
例えば極小値がｘ軸より下で、極大値がｘ軸より上ならば、異なる３つの解をもつ。ということができます。
まずは微分しましょう！
ｆ(ｘ)＝ｘ3−３ｘ2−９ｘ＋ａ＝０とおいて、
ｆ'(ｘ)＝３ｘ2−６ｘ−９
＝３(ｘ2−２ｘ−３)
＝３(ｘ＋１)(ｘ−３)
極値ではｆ'(ｘ)＝０だから、ｘ＝−１，３
これらのときの式の値が極値です。つまり、
ｆ(−１)＝−１−３＋９＋ａ
＝５＋ａ
ｆ(３)＝２７−２７−２７＋ａ
＝−２７＋ａ
ｘ＝−１のとき極大値５＋ａ，ｘ＝３のとき極小値−２７＋ａ
ですね。
また、ｆ(０)＝ａです。
つまり、この３次関数はｙ軸上のａの点を通ります。
極大値・極小値の位置を考えると、まず、ａ＞０ならば負の解を１つだけもつことがわかると思います。
そして極小値が負の数になれば、極小値付近でｘ軸と異なる２点で交わります。つまり、２つの正の解を持ちます。
−２７＋ａ＜０
ａ＜２７
これらの共通範囲が求めるａの範囲となります。
つまり、
０＜ａ＜２７
◆関連問題
ｆ(ｘ)がｘ＝１で極値をもつように、定数ａの値を定めよ
ｙ＝ｘ3−１２ｘ−１の極値
微分積分まとめ
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