高校数学「積分」∫ｓｉｎ４ｘｃｏｓ３ｘｄｘの不定積分

高校数学「積分」∫ｓｉｎ４ｘｃｏｓ３ｘｄｘの不定積分

■　問題

∫ｓｉｎ４ｘｃｏｓ３ｘｄｘの不定積分を求めよ。


三角関数の積分をするときは、まず式の変形をする場合が多いです。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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■　解答解説

三角関数は様々な公式を用いて、単純な１次式に変形できる場合が多いです。
今回の式も、ｓｉｎ４ｘｃｏｓ３ｘをまずは変形します。

この形の場合は「積和の公式」ですね。

ｓｉｎαｃｏｓβ＝(１／２){ｓｉｎ(α＋β)＋ｓｉｎ(α−β)}

を使います。
この公式は、三角関数の加法定理から簡単に導くことができるので、忘れてしまった人は導いて、求める過程を実際に何度も経験すると良いです。

ｓｉｎ４ｘｃｏｓ３ｘ＝(１／２){ｓｉｎ(４ｘ＋３ｘ)＋ｓｉｎ(４ｘ−３ｘ)}
　　　　　　　　　　＝(１／２)(ｓｉｎ７ｘ＋ｓｉｎｘ)

というわけで、これを積分します。

　(１／２)∫(ｓｉｎ７ｘ＋ｓｉｎｘ)ｄｘ

ここで、∫ｓｉｎ７ｘｄｘは、７ｘ＝ｔとおくと、ｄｔ／ｄｘ＝７よりｄｘ＝(１／７)ｄｔだから、
∫ｓｉｎ７ｘｄｘ＝∫ｓｉｎｔ(１／７)ｄｔ＝−(１／７)ｃｏｓｔ＋Ｃ
つまり、−(１／７)ｃｏｓ７ｘ＋Ｃです。

よって、

＝(１／２){−(１／７)ｃｏｓ７ｘ−ｃｏｓｘ}＋Ｃ
＝−(１／１４)(ｃｏｓ７ｘ＋７ｃｏｓｘ)＋Ｃ


◆関連項目
不定積分、三角関数の不定積分
微分積分(数学３)まとめ


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本日配信のメルマガ。2024年共通テスト追試英語第２問Ｂ 本文最後まで

本日配信のメルマガでは、2024年大学入学共通テスト追試英語第２問Ｂの本文最後までの内容を掲載します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■　問題

2024年大学入学共通テスト追試より

第２問

Ｂ　While planning your six-month study programme in an English city called
Twiggsbury, you find this online article about a unique transport project
written by a member of the local promotion committee.

　　Emma Crossland
　　10 December 2023

　[Get Points for Travel]

Wouldn't it be great to benefit from the miles you travel? Well, in
Twiggsbury, you can! 'Point-to-Point' or 'P-to-P' as it is known, gives you
one point for every mile you travel on a train, bus, or even taxi within
the local area. Your travel will be rewarded!

I only recently signed up for P-to-P but have already received so many
benefits. An electronic travel card records my journeys and I receive a
weekly email summary.

How about the benefits? Exchanging 100 points gives you a £3 coupon for
future travel, and for 1,000 points you'll get a two-day unlimited pass for
local travel! I took a trip to a castle and also visited other ancient
buildings and monuments. I would never have done that without the unlimited
pass. You can also use points to buy things at local supermarkets. All
these benefits make life a little nicer.

I think the greatest benefit comes if you convert 5,000 points (which takes
about a year to save) into an Elite Pass. With that, you can use the Elite
Lounge at Twiggsbury Station any time! You also receive unlimited Wi-Fi
access on all local transport.

The Twiggsbury government said as more people join, their saved points can
be used in other places such as restaurants and cinemas. Last year, over
25,000 passengers registered for P-to-P and the government hopes to double
that this year. Registration takes just a few minutes (click [here]), so
sign up and start collecting points today!


つづく


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■　スラッシュリーディング

Ｂ　While planning / your six-month study programme / in an English city
/ called Twiggsbury,
計画している間 / あなたの６ヶ月の留学プログラムを / あるイギリスの都市での
/ Twiggsburyと呼ばれる

/ you find this online article / about a unique transport project
/ written by a member / of the local promotion committee.
あなたはこのオンライン記事を見つける / 独特な輸送プロジェクトについての
/ メンバーによって書かれた / 地元のプロモーション委員会の


　　Emma Crossland
　　10 December 2023

　[Get Points for Travel][旅行でポイント獲得]

Wouldn't it be great / to benefit / from the miles / you travel?
すばらしいと思いませんか？ / 利益を得るのは / マイルから / あなたが旅行する


(以下略)


(有料版では、解説の続きも掲載しています)
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中学英語「現在分詞」「通りかかった警察官」

中学英語「現在分詞」「通りかかった警察官」

EEvideoの学校向けコンテンツを使って中学３年生に英語の指導をしています。
その中で登場した問題から１問ピックアップして解説します。


◆問題

「私は、通りかかった警察官に話しかけました。」という意味の英文になるよう、空欄に適語を入れてください。

I spoke to a policeman [　] [　]


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◆解答解説

「通りかかる」は動詞句「pass by」で表すことができます。

「通りかかった警察官」という意味だから、「通りかかった」の部分は「警察官」の修飾語になります。

動詞を使って「〜している」などの意味の修飾語を表したいときに、現在分詞形「〜ing」を使うことができます。

というわけで、

I spoke to a policeman passing by.

このようになります！

ちなみに、現在進行形などの「〜ing」も現在分詞形です。


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