高校数学「平面のベクトル」三角形ＯＡＢにおいて、点Ｏから辺ＡＢへ垂線引きＡＢとの交点をＨと…

高校数学「平面のベクトル」三角形ＯＡＢにおいて、点Ｏから辺ＡＢへ垂線引きＡＢとの交点をＨと…

■　問題

ＯＡ＝３，ＯＢ＝２，→ＯＡ・→ＯＢ＝２である鈍角三角形ＯＡＢにおいて、点Ｏから辺ＡＢへ垂線引きＡＢとの交点をＨとする。→ＯＡ＝→ａ，→ＯＢ＝→ｂとするとき、→ＯＨを→ａ，→ｂで表せ。


↓解答解説はこのページ下に↓


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■　解答解説

※この記事ではベクトルの→を一部省略して記載します。

「ＯからＡＢに垂線を引いたけど、Ｈの場所がよくわからないな〜」と思った人も多いと思います。
その通りです！
「そのＨの場所がわからないから、ａ，ｂを用いて表そう！」という問いです。
わからないものを文字でおくので、例えば

ＡＨ：ＨＢ＝ｔ：(１−ｔ)

とおいてみましょう。

すると、ベクトルの内分の公式より、

→ＯＨ＝(１−ｔ)・→ａ＋ｔ・→ｂ

このように表すことができます。

さらに、ベクトルの垂直条件より、→ＯＨ・→ＡＢ＝０ですね。
「垂直なら内積がゼロ」です。

→ＡＢ＝→ｂ−→ａだから、

　ＯＨ・ＡＢ
＝{(１−ｔ)ａ＋ｔｂ}・(ｂ−ａ)
＝(１−ｔ)ａ・ｂ−(１−ｔ)|ａ|²＋ｔ|ｂ|²−ｔａ・ｂ
＝(１−２ｔ)ａ・ｂ−(１−ｔ)|ａ|²＋ｔ|ｂ|²

まずは、→ＯＨと→ＡＢの内積はこのように表すことができますね。
ここで、ＯＡ＝|→ａ|＝３，ＯＢ＝|→ｂ|＝２，→ＯＡ・→ＯＢ＝→ａ・→ｂ＝２を代入すると、

＝(１−２ｔ)・２−(１−ｔ)・３²＋ｔ・２²
＝２−４ｔ−９＋９ｔ＋４ｔ
＝９ｔ−７

垂直なら内積がゼロだから、この９ｔ−７はゼロです。

９ｔ−７＝０
　　９ｔ＝７
　　　ｔ＝７／９

これを→ＯＨの式に代入すれば完成です！

→ＯＨ＝(１−ｔ)・→ａ＋ｔ・→ｂにｔ＝７／９を代入して、

→ＯＨ＝(２／９)・→ａ＋(７／９)→ｂ


◆関連項目
センター試験に出たベクトルの公式・性質
ベクトルまとめ


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中学歴史「日本の文化」文化名の穴埋め問題

中学歴史「日本の文化」文化名の穴埋め問題

縄文時代から江戸時代までの主な文化の名前を穴埋めにしてみました。
知識の整理に活用してください。


◆問題

[　]文化・・・狩猟・採集が生活の中心。竪穴住居で生活。土偶、貝塚、三内丸山遺跡。
[　]文化・・・稲作・金属器が伝来した。高床式倉庫、石包丁、銅剣・銅鐸など。登呂遺跡、吉野ヶ里遺跡。
[　]文化・・・大王や豪族が大きな力をもつ。前方後円墳をはじめとする古墳の上や周囲にはにわ。大山古墳。
[　]文化・・・奈良盆地南部の飛鳥地方を中心に、聖徳太子の時代に栄えた最初の仏教文化。法隆寺は現存する世界最古の木造建築。釈迦三尊像。
[　]文化・・・聖武天皇の頃を中心に栄えた、唐や仏教の影響を受けた文化。正倉院、唐招提寺、万葉集、古事記、日本書紀など。
[　]文化・・・日本の風土に合った文化。紫式部「源氏物語」、清少納言「枕草子」などのかな文字による女流文学。平等院鳳凰堂。
[　]文化・・・貴族の文化とともに力強い武士の文化が発達。法然・親鸞・日蓮などの新しい仏教。東大寺南大門金剛力士像。新古今和歌集、平家物語。
[　]文化・・・足利義満が金閣を造立。観阿弥・世阿弥の能楽。
[　]文化・・・足利義政が銀閣を造立。書院造。雪舟が水墨画を大成した。
[　]文化・・・商人や大名を中心とした雄大で豪華な文化。千利休が茶道を大成した。
[　]文化・・・上方を中心とする町人文化。井原西鶴の浮世草子、近松門左衛門の人形浄瑠璃、松尾芭蕉の俳諧、菱川師宣の浮世絵。
[　]文化・・・江戸を中心とする町人文化。葛飾北斎の富岳三十六景、歌川広重の東海道五十三次、十返舎一九の東海道中膝栗毛。


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