昨日の高校生の授業で登場した問題です。
結構難しいと思います。皆さんは解けますか？
■ 問題
次の和Ｓを求めよ。
Ｓ＝１＋１／(１＋２)＋１／(１＋２＋３)＋……＋１／(１＋２＋３＋…＋ｎ)
解答解説はこのページ下
↓この書籍も参考にしてみてください↓
１０秒でわかる！高校数学２Ｂ数列の考え方
■ 解答解説
それぞれの項の分母が自然数の和になっている問題です。
「分子だったら簡単なんだけどな～」などと思う人もいると思います。
実はそういう考え大切です。
仮に行き先不明でも、まずはできることをやってみると解決できる場合があります。
というわけで、とりあえず分母の第ｎ項を式で表してみましょう！
第ｎ項は１／(１＋２＋３＋…＋ｎ)だから、分母は(１＋２＋３＋…＋ｎ)ですね。
これは単純な自然数の列で、Σを使ってもいいし、等差数列の和と考えてもどちらでも簡単に式で表せます。
分母は、(１／２)ｎ(ｎ＋１)ですね。
(それがわからないという人は初歩的な等差数列の和やΣの公式などをご覧ください)
ということは、第ｎ項は１／{(１／２)ｎ(ｎ＋１)}と書き換えることができます。
この分数の分子と分母を２倍すると、
２／{ｎ(ｎ＋１)}
となります。
この形になれば、気付いた人も多いのではないでしょうか？
いわゆる「部分分数分解」をやれば良いのでは？
と見当がつきますね？
・・・もちろん見当がつかなかった人もいると思います。そんな人はこの問題などで練習しましょう！
第ｎ項がこのように表せるなら、最初の項から全て同様に表せるはずです。
つまり、
Ｓ＝２／(１・２)＋２／(２・３)＋２／(３・４)＋……＋２／{ｎ(ｎ＋１)}
与式はこのように書き換えることができます。
全ての分子が２なので、２でくくってから、部分分数分解をすると、
Ｓ＝２[(１／１－１／２)＋(１／２－１／３)＋(１／３－１／４)＋……＋{１／ｎ－１／(ｎ＋１)}]
次々と相殺していくと、最初と最後だけが残ります。
＝２{１／１－１／(ｎ＋１)}
＝２{(ｎ＋１)／(ｎ＋１)－１／(ｎ＋１)}
＝２{ｎ／(ｎ＋１)}
＝２ｎ／(ｎ＋１)
◆関連項目
Σの公式
部分分数分解
数列まとめ
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ラベル：数学
