本日配信のメルマガでは、2022年大学入学共通テスト数学２Ｂ第１問[1]を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2022年共通テスト数２Ｂより
第１問
[1] 座標平面上に点Ａ(－８，０)をとる。また、不等式
ｘ^2＋ｙ^2－４ｘ－１０ｙ＋４≦０
の表す領域をＤとする。
(1) 領域Ｄは、中心が点([ア]，[イ])，半径が[ウ]の円の[エ]である。
[エ]の解答群
┌――――――――――――――――――┐
｜{0} 周 {1} 内部 {2} 外部 ｜
｜{3} 周および内部 {4} 周および外部｜
└――――――――――――――――――┘
以下、点([ア]，[イ])をＱとし、方程式
ｘ^2＋ｙ^2－４ｘ－１０ｙ＋４＝０
の表す図形をＣとする。
(2) 点Ａを通る直線と領域Ｄが共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。
(i) (1)により、直線ｙ＝[オ]は点Ａを通るＣの接線の一つとなることがわかる。
太郎さんと花子さんは点Ａを通るＣのもう一つの接線について話している。
点Ａを通り、傾きがｋの直線をｌとする。
┌――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜太郎：直線ｌの方程式はｙ＝ｋ(ｘ＋８)と表すことができるから、｜
｜ これを ｜
｜ ｘ^2＋ｙ^2－４ｘ－１０ｙ＋４＝０ ｜
｜ に代入することで接線を求められそうだね。 ｜
｜花子：ｘ軸と直線ＡＱのなす角のタンジェントに注目することでも｜
｜ 求められそうだよ。 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――┘
(ii) 太郎さんの求め方について考えてみよう。
ｙ＝ｋ(ｘ＋８)をｘ^2＋ｙ^2－４ｘ－１０ｙ＋４＝０に代入すると、ｘについて
の２次方程式
(ｋ^2＋１)ｘ^2＋(１６ｋ^2－１０ｋ－４)ｘ＋６４ｋ^2－８０ｋ＋４＝０
が得られる。この方程式が[カ]のときのｋの値が接線の傾きとなる。
[カ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――┐
｜{0} 重解をもつ ｜
｜{1} 異なる二つの実数解をもち、一つは０である｜
｜{2} 異なる二つの正の実数解をもつ ｜
｜{3} 正の実数解と負の実数解をもつ ｜
｜{4} 異なる二つの負の実数解をもつ ｜
｜{5} 異なる二つの虚数解をもつ ｜
└――――――――――――――――――――――┘
(iii) 花子さんの求め方について考えてみよう。
ｘ軸と直線ＡＱのなす角θ(０＜θ≦π／２)とすると
ｔａｎθ＝[キ]／[ク]
であり、直線ｙ＝[オ]と異なる接線の傾きはｔａｎ[ケ]と表すことができる。
[ケ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} θ {1} ２θ {2} (θ＋π／２) ｜
｜{3} (θ－π／２) {4} (θ＋π) {5} (θ－π)｜
｜{6} (２θ－π／２) {7} (２θ－π／２) ｜
└――――――――――――――――――――――――┘
(iv) 点Ａを通るＣの接線のうち、直線ｙ＝[オ]と異なる接線の傾きをｋ0とする。
このとき、(ii)または(iii)の考え方を用いることにより
ｋ0＝[コ]／[サ]
であることがわかる。
直線ｌと領域Ｄが共有点を持つようなｋの値の範囲は[シ]である。
[シ]の解答群
┌――――――――――――――――――┐
｜{0} ｋ＞ｋ0 {1} ｋ≧ｋ0 ｜
｜{2} ｋ＜ｋ0 {3} ｋ≦ｋ0 ｜
｜{4} ０＜ｋ＜ｋ0 {5} ０≦ｋ≦ｋ0 ｜
└――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
図形と方程式まとめ→
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■ 解説目次
◆１ 円の方程式と領域の基本
◆２ 円の中心と半径なら平方完成
(以下略)
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■ 解説
◆１ 円の方程式と領域の基本
2022年共通テスト数学２Ｂ第１問[1]では、円が登場しました。本試験では近年
登場していなかったので、意表を突かれて混乱してしまった人もいたと思います。
そんなときほど、とにかく「出せるものを出す」という取り組み方が大切です。
まずは円の方程式と領域について基本的な事柄を掲載してみます。
★中心(ａ，ｂ)，半径ｒの円の方程式：(ｘ－ａ)^2＋(ｙ－ｂ)^2＝ｒ^2
そして、この式の等号が不等号になると、円の内側または外側の領域を表します。
★円の内側：(ｘ－ａ)^2＋(ｙ－ｂ)^2＜ｒ^2
★円の外側：(ｘ－ａ)^2＋(ｙ－ｂ)^2＞ｒ^2
(ｘ－ａ)^2＋(ｙ－ｂ)^2が円周上を表すので、それより小さければ内側、
大きければ外側。というわけです。
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◆２ 円の中心と半径なら平方完成
では今回の問題です。
ｘ^2＋ｙ^2－４ｘ－１０ｙ＋４≦０
これを領域Ｄとして、まずは円の中心と半径を求めます。
◆１でも触れたように、円は(ｘ－ａ)^2＋(ｙ－ｂ)^2＝ｒ^2の形になります。
この形になるように、与式を変形していきましょう！
カッコの２乗だから平方完成ですね。
ｘ^2＋ｙ^2－４ｘ－１０ｙ＋４≦０
(ｘ^2－４ｘ)＋(ｙ^2－１０ｙ)＋４≦０
(ｘ^2－４ｘ＋４－４)＋(ｙ^2－１０ｙ＋２５－２５)＋４≦０
(ｘ－２)^2－４＋(ｙ－５)^2－２５＋４≦０
(ｘ－２)^2＋(ｙ－５)^2≦２５
これで中心と半径がわかる形になりました。
中心(２，５)，半径５ですね。
不等号の向きから・・・
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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