【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2022年共通テスト数２Ｂより
第１問
[2] ａ，ｂは正の実数であり、ａ≠１，ｂ≠１を満たすとする。太郎さんは
ｌｏｇ[a]ｂとｌｏｇ[b]ａの大小関係を調べることにした。
(1) 太郎さんは次のような考察をした。
まず、ｌｏｇ[3]９＝[ス]，ｌｏｇ[9]３＝１／[ス]である。この場合
ｌｏｇ[3]９＞ｌｏｇ[9]３
が成り立つ。
一方、ｌｏｇ[1/4][セ]＝－３／２，ｌｏｇ[セ](１／４)＝－２／３である。
この場合
ｌｏｇ[1/4][セ]＜ｌｏｇ[セ](１／４)
が成り立つ。
(2) ここで
ｌｏｇ[a]ｂ＝ｔ ……{1}
とおく。
(1)の考察をもとにして、太郎さんは次の式が成り立つと推測し、それが正しい
ことを確かめることにした。
ｌｏｇ[b]ａ＝１／ｔ ……{2}
{1}により、[ソ]である。このときにより[タ]が得られ、{2}が成り立つことが
確かめられる。
[ソ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ａ^b＝ｔ {1} ａ^t＝ｂ {2} ｂ^a＝ｔ ｜
｜{3} ｂ^t＝ａ {4} ｔ^a＝ｂ {5} ｔ^b＝ａ ｜
└―――――――――――――――――――――――┘
[タ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ａ＝ｔ^(1/b) {1} ａ＝ｂ^(1/t) {2} ｂ＝ｔ^(1/a) ｜
｜{3} ｂ＝ａ^(1/t) {4} ｔ＝ｂ^(1/a) {5} ｔ＝ａ^(1/b) ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――┘
(3) 次に、太郎さんは(2)の考察をもとにして
ｔ＞１／ｔ ……{3}
を満たす実数ｔ(ｔ≠０)の値の範囲を求めた。
┌―太郎さんの考察―――――――――――――――――――――――――┐
｜ ｔ＞０ならば、{3}の両辺にｔを掛けることにより、ｔ^2＞１を得る。 ｜
｜このようなｔ(ｔ＞０)の値の範囲は１＜ｔである。 ｜
｜ ｔ＜０ならば、{3}の両辺にｔを掛けることにより、ｔ^2＜１を得る。 ｜
｜このようなｔ(ｔ＜０)の値の範囲は－１＜ｔ＜０である。 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘
この考察により、{3}を満たすｔ(ｔ≠０)の値の範囲は
－１＜ｔ＜０，１＜ｔであることがわかる。
ここで、ａの値を一つ定めたとき、不等式
ｌｏｇ[a]ｂ＞ｌｏｇ[b]ａ ……{4}
を満たす実数ｂ(ｂ＞０，ｂ≠１)の値の範囲について考える。
{4}を満たすｂの値の範囲はａ＞１のときは[チ]であり、０＜ａ＜１のときは
[ツ]である。
[チ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ０＜ｂ＜１／ａ，１＜ｂ＜ａ {1} ０＜ｂ＜１／ａ，ａ＜ｂ ｜
｜{2} １／ａ＜ｂ＜１，１＜ｂ＜ａ {3} １／ａ＜ｂ＜１，ａ＜ｂ ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ツ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ０＜ｂ＜ａ，１＜ｂ＜１／ａ {1} ０＜ｂ＜ａ，１／ａ＜ｂ ｜
｜{2} ａ＜ｂ＜１，１＜ｂ＜１／ａ {3} ａ＜ｂ＜１，１／ａ＜ｂ ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘
(4) ｐ＝１２／１３，ｑ＝１２／１１，ｒ＝１４／１３とする。
次の{0}～{3}のうち、正しいものは[テ]である。
[テ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ｌｏｇ[p]ｑ＞ｌｏｇ[q]ｐかつｌｏｇ[p]ｒ＞ｌｏｇ[r]ｐ ｜
｜{1} ｌｏｇ[p]ｑ＞ｌｏｇ[q]ｐかつｌｏｇ[p]ｒ＜ｌｏｇ[r]ｐ ｜
｜{2} ｌｏｇ[p]ｑ＜ｌｏｇ[q]ｐかつｌｏｇ[p]ｒ＞ｌｏｇ[r]ｐ ｜
｜{3} ｌｏｇ[p]ｑ＜ｌｏｇ[q]ｐかつｌｏｇ[p]ｒ＜ｌｏｇ[r]ｐ ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
指数・対数まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/477928170.html
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■ 解説目次
◆１ 分数は累乗根・マイナスは逆数
◆２ 指数・対数の関係
◆３ 対数の計算法則
◆４ ｌｏｇ[a]ｃ＝ｂはａ^b＝ｃ
◆５ １／２乗はルート、マイナスの指数は逆数
(以下略)
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■ 解説
◆１～３は省略します。
◆４ ｌｏｇ[a]ｃ＝ｂはａ^b＝ｃ
では今回の問題です。
まずは対数の値を求めます。
◆２でも触れた「★ａ^b＝ｃならばｌｏｇ[a]ｃ＝ｂ」という指数・対数の関係を
使います。
ｌｏｇ[3]９は、３を９にするには何乗か？なので、２乗ですね。つまり、
ｌｏｇ[3]９＝２
ｌｏｇ[9]３は、９を３にするには何乗か？なので、１／２乗ですね。
√９＝３であり、平方根は１／２乗です。だから、
ｌｏｇ[9]３＝１／２
よって、[ス]＝２
ちなみに、２＞１／２だからｌｏｇ[3]９＞ｌｏｇ[9]３ですね。
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◆５ １／２乗はルート、マイナスの指数は逆数
同様にして、ｌｏｇ[1/4][セ]＝－３／２とｌｏｇ[セ](１／４)＝－２／３について
考えます。[セ]の部分をｘとすると、ｌｏｇ[1/4]ｘ＝－３／２だから、
ｘ＝(１／４)^(-3/2)
１／２乗は√だから、
(以下略)
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ラベル：数学
