高校数学「指数の計算」「累乗根」∛(√２７)

高校数学「指数の計算」「累乗根」∛(√２７)

■　問題

次の計算をせよ。

∛(√２７)


↓解答解説はお知らせの下に↓

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■　解答解説

与えられた数式は、「ルート２７の３乗根」を意味しています。

根号を使って累乗根で表された数の計算は、分数の指数に書き直して計算すると、やりやすい場合が多いです。

√は分数の指数で表せます。

与式を指数を用いて書き直すと、

(２７^1/2)^1/3

となります。
２７＝３³だから、さらに、

{(３³)^1/2}^1/3

とすることができます。

指数の計算法則に従ってさらに書き直すと、

　３^{3×(1/2)×(1/3)}
＝３^1/2
＝√３

となります。


◆関連問題
{７^(1/2)}÷{７^(-1/6)}×{７^(2/3)}


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高校数学「確率」「反復試行」４回目に２個目の赤が出て…

高校数学「確率」「反復試行」４回目に２個目の赤が出て…

■　問題

赤球６個、白球３個が入っている袋から、球を１個取り出して色を確認してから袋に戻すという操作を７回繰り返す。次の確率を求めよ。

(1) ７回目に３個目の赤球が出る。

(2) ４回目の２個目の赤球が出て、７回目の４個目の赤球が出る。


↓(2)の解答解説はお知らせの下に↓


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■　解答解説

このように、出るのが何回目か決まっているときは、「その直前まで」「その回」に区切って考えます。

「４回目に２個目の赤」ということは、３回目までに１個赤が出ている必要があります。

そして「７回目の４個目の赤」となるためには、５回目か６回目に１個赤が出ていなければいけません。

というわけで、式は次のようになります。

　{₃Ｃ₁(２／３)・(１／３)²}・(２／３)・{₂Ｃ₁(２／３)・(１／３)}・(２／３)

最初の中括弧の中身が「３回目までに１個赤」、次の(２／３)が「４回目が赤」、次の中括弧が「５回目か６回目に赤」、最後の(２／３)が「７回目に赤」を表しています。

あとは計算してみましょう！
赤は合計４回、白は合計３回だから、

＝３・２・(２／３)⁴・(１／３)³
＝３２／７２９


(1)に戻る→７回目に３個目の赤



◆関連項目
コイン４回の場合


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高校数学「確率」「反復試行」７回目に３個目の赤球が出る確率

高校数学「確率」「反復試行」７回目に３個目の赤球が出る確率

■　問題

赤球６個、白球３個が入っている袋から、球を１個取り出して色を確認してから袋に戻すという操作を７回繰り返す。次の確率を求めよ。

(1) ７回目に３個目の赤球が出る。


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■　解答解説

「７回中３回」ではなく「７回目に３個目の赤」です。
つまり、

「６回目までに２回出ていて、７回目に最後の１回が出る」

場合を考える必要があります。
これらの事象は続けて起こるので、それぞれ出してかけ算ですね！

「６回目までに２回の赤」の確率と「最後の１回は赤」の確率を掛ければＯＫです。

まず、６回目までの２回の赤の確率は、普通に反復試行で求められます。
(反復試行の基本的なやり方がわからない。という人はまずはこちらをご覧ください)

　₆Ｃ₂×(６／９)²×(３／９)4
＝{(６・５)／(２・１)}×{(２／３)²}×{(１／３)⁴}
＝１５{(２／３)²}×{(１／３)⁴}

これに最後の１回は赤の確率(２／３)をかけて、できるだけ簡単にします。

　１５{(２／３)²}×{(１／３)⁴}×(２／３)
＝５{(２／３)³}×{(１／３)³}
＝４０／７２９


次の問題→４回目の２個目の赤が出て…



◆関連項目
コイン４回の場合、５回中２回が奇数の場合
場合の数・確率まとめ


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