2024年09月22日

高校数学「図形と方程式」平行四辺形の対角線の交点の座標@

高校数学「図形と方程式」平行四辺形の対角線の交点の座標@

◆問題

3点A(−2,5),B(1,2),C(4,3)と点Dを頂点にもつ平行四辺形について、対角線の交点Pの座標を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓


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◆解答解説

前回の問題とちょっとだけ違います。
前回は「平行四辺形ABCD」だったので、A→B→C→Dの順に1周する順番に4つの点が並びます。

今回は「A,B,C,Dを頂点とする平行四辺形」なので、順番は確定していません。

A,B,Cは決まっていて、△ABCの位置は決まっているので、Dの位置によって3通りの平行四辺形が考えられます。

まず、前回の問題でもやったように、「平行四辺形ABCD」だった場合は、DはACに関してBと対象な位置にあり、(1,2)でした。

この問題では、あと2通りのDの位置も求める必要があります。

(i) 平行四辺形ADBCのとき
DはABに関してCと対象な位置にくるので、対角線の交点PはABの中点になります。

x座標
(−2+1)/2=−1/2

y座標
(5+2)/2=7/2

この場合のPの座標は(−1/2,7/2)です。

(ii) 平行四辺形ABDCのとき
DはBCに関してAと対象な位置にくるので、対角線の交点PはBCの中点になります。

x座標
(1+4)/2=5/2

y座標
(2+3)/2=5/2

この場合のPの座標は(5/2,5/2)です。


次の問題→Dの座標


◆関連項目
点A(−1,2)に関して、点P(2,−5)と対称な点Qの座標
図形と方程式まとめ


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ラベル:数学
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高校数学「図形と方程式」平行四辺形ABCDの対角線の交点とDの座標

高校数学「図形と方程式」平行四辺形ABCDの対角線の交点とDの座標

◆問題

3点A(−2,5),B(1,2),C(4,3)を頂点にもつ平行四辺形ABCDについて、対角線ACとBCの交点Pと点Dの座標を求めよ。


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◆解答解説

まず、中学数学でも登場した平行四辺形の性質を思い出してください。

もちろん「対辺がそれぞれ平行」「対辺がそれぞれ等しい」「対角がそれぞれ等しい」という性質はありますが、そのほかに、

★対角線がそれぞれの中点で交わる

という性質がありましたね。

だから、今回の問題の点Pは、ACの中点であり、BDの中点でもあります。

ということは、ACの中点を求めればPがわかり、PがわかればDがわかる。という流れになります。

まずはACの中点を求めてみましょう!
中点は、重心と同様に、座標の平均です。

x座標
(−2+4)/2=2/2=1

y座標
(5+3)/2=8/2=4

よって、P(1,4)

BDの中点もPになります。
Dは今のところわからないので、(x,y)とおくと、

(1+x)/2=1,(2+y)=4

このような式ができます。
あとはそれぞれ解けばOK!

(1+x)/2=1
  1+x=2
    x=1

(2+y)/2=4
  2+y=8
    y=6

よって、求める点Dの座標は(1,6)です!


ちなみに、この問題では「平行四辺形ABCD」と言っているので、Dの位置はこの1ヶ所に決まります。
「A,B,C,Dを頂点にもつ平行四辺形」ならば、Dの位置は他の可能性もあります。


次の問題→A,B,C,Dを頂点とする場合


◆関連項目
点A(−1,2)に関して、点P(2,−5)と対称な点Qの座標
図形と方程式まとめ


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高校数学「図形と方程式」△ABCの重心の座標

高校数学「図形と方程式」△ABCの重心の座標

◆問題

3点A(4,7),B(2,1),C(−3,−2)を頂点とする△ABCの重心の座標を求めよ。


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◆解答解説

三角形の重心は、要するに三角形の真ん中の点です。
真ん中だから、頂点の座標を平均すると重心の座標がわかります。

3点の座標はA(4,7),B(2,1),C(−3,−2)だから、x座標とy座標それぞれを平均します。

x座標
(4+2−3)/3=3/3=1

y座標
(7+1−2)/3=6/3=2

というわけで、求める重心の座標は(1,2)


◆関連項目
図形と方程式まとめ


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