2024年10月05日

高校数学「三角関数」原点を通り、y=xとのなす角が30°の直線の方程式

高校数学「三角関数」原点を通り、y=xとのなす角が30°の直線の方程式

■問題

原点を通り、y=xとのなす角が30°の直線の方程式を求めよ。


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓

10秒でわかる高校数学2B「三角関数」の考え方

「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます!



■解答解説

2直線のなす角を求めるときは、タンジェントの加法定理を使います。

tanθ=y/xだから、タンジェントはx方向に1進んだときのyの増加量を表しています。
これはつまり直線の傾きと同じです。

そして、2直線の傾きから2直線のなす角がわかるので、tan(α−β)を計算すると2直線のなす角がわかる。という流れです。

今回の問題では、なす角30°がわかっています。
y=xの上側に30°の場合と下側に30°の場合があります。
つまり、α−β=30°の場合とβ−α=30°の場合があります。

まずはtan(α−β)=30°の場合をやってみます。
tan30°=1/√3だから、tan(α−β)=1/√3で方程式をつくればOKです!

tan(α−β)=(tanα−tanβ)/(1+tanαtanβ)に、y=xよりtanα=1を代入すると、

tan(α−β)=(1−tanβ)/(1+1×tanβ)
     =(1−tanβ)/(1+tanβ)

この式の値が1/√3だから、

(1−tanβ)/(1+tanβ)=1/√3

両辺に√3(1+tanβ)をかけると、

√3(1−tanβ)=1+tanβ
√3−√3・tanβ=1+tanβ
−√3・tanβ−tanβ=1−√3
(√3+1)tanβ=−1+√3
    tanβ=(√3−1)/(√3+1)
    tanβ=(√3−1)2/(3−1)
    tanβ=(3−2√3+1)/2
    tanβ=(4−√3)/2=2−√3

tanβ=2−√3ということは、求める直線の傾きが2−2√3です。

求める直線は原点を通る直線だから、

y=(2−√3)x

これは、tan(α−β)によって求めた直線です。

tan(β−α)についても同様にやれば、tan(β−α)=30°より、tanβ=2+√3が得られます。
この場合はy=(2+√3)xですね。

まとめると、求める直線は

y=(2±√3)x


基本問題→y=−3xとy=2xのなす角θ


◆関連項目
加法定理
三角関数まとめ


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ラベル:数学
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本日配信のメルマガ。2024年共通テスト追試英語第5問 第5段落まで

本日配信のメルマガでは、2024年大学入学共通テスト追試英語第5問の第5段落までの内容を掲載します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題

2024年大学入学共通テスト追試より

第5問

In your English class, you have been assigned to read a personal essay
written by a graduate of your university. You will give a presentation
about it using notes.

 [Everlasting Journey]
  Sugiyama Keita

 I was restless throughout the seven-hour flight. Soon after turning 20
years old, I had decided to travel to a foreign country for the first time.
Next to me was my good friend Shinji, eagerly gazing out the window. I had
asked him to be my travel companion because he was always willing to listen
to others and consider their ideas. He had agreed with me that we would not
arrange detailed travel plans before leaving Japan, but rather experience
the thrill of choosing what to do each day while we were in the country. I
was sure that this experience would help me grow as a person, and my heart
felt like it might burst with anticipation!

 At the exit of the airport terminal, we had no idea how to get
transportation into the city. Then, a Japanese traveler spoke to us. He
told us the best way to get there and gave us a lot of useful travel
advice. We thanked him. "Instead of just thanking me, be kind to other
travelers," he said. Nodding, we acknowledged his request and said goodbye.

 The next day, we visited some places. I left everything up to Shinji.
Thanks to him, we had little trouble getting to our destinations. We
enjoyed the morning, visiting some fascinating museums. In the afternoon,
though, trouble struck. I realized I had left my travel pouch somewhere,
and I was in a panic. Shinji, however, calmly urged me to think carefully
about what we had done and we decided to go back to the restaurant where we
had lunch. There, the staff was waiting for us with my pouch! I was
impressed by how Shinji took the initiative to resolve the situation. Our
last destination was a temple, which was famous for its statue of a
mysterious Buddha. The Buddha looked angry from one angle, but seemed to be
laughing from another. I felt uneasy because I could not understand the
emotions it was supposed to show.

 The following day, we decided to go to a waterfall. After a 30-minute
walk from the nearest station, we were almost there, but the map was hard
to understand and we were confused. Although we had to ask for directions,
I enjoyed interacting with the locals. Shinji, on the contrary, spoke less
and less. Before the trip, I did not think Shinji could be irritable. I had
no idea how to handle the suddenly annoyed Shinji and tried to make myself
believe that time would improve the situation. Coming back to the guest
house, Shinji suggested that we spend the next day apart. I felt a little
hurt but accepted it.

 The next day, I visited the ruins of an ancient kingdom outside the city.
I managed to take the bus there. While I was waiting for the bus to go
back, I saw another traveler asking locals about which bus he should take.
He seemed frustrated that he could not communicate with them. After some
hesitation, I asked him if I could help and we figured it out together.
"You were very kind to help me," he said. "Not really," I replied, and then
I told him the story about the traveler that had assisted Shinji and me.
After my story, he said, "But, it was you who decided to help me. Sometimes
when we find ourselves in challenging circumstances, we can discover a part
of ourselves we didn't know existed."


つづく


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■ スラッシュリーディング

第5問

In your English class, / you have been assigned / to read
/ a personal essay / written by a graduate / of your university.
あなたの英語の授業で / あなたは指示された / 読むことを
/ ある個人のエッセイを / 卒業生によって書かれた / あなたの大学の

You will give a presentation / about it / using notes.
あなたは発表する / それについて / メモを使って


(以下略)


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posted by えま at 17:00| Comment(0) | TrackBack(0) | メルマガ | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「三角関数」2直線のなす角@

高校数学「三角関数」2直線のなす角@

■問題

y=−3xとy=2xのなす角θを求めよ。ただし、0<θ<π/2とする。


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■解答解説

2直線のなす角を求めるときは、タンジェントの加法定理を使います。

tanθ=y/xだから、タンジェントはx方向に1進んだときのyの増加量を表しています。
これはつまり直線の傾きと同じです。

今回の2直線はy=−3x,y=2xだから、tanα=−3,tanβ=2と置いてみます。

そして、2直線の傾きから2直線のなす角がわかるので、tan(α−β)を計算すると2直線のなす角がわかる。という流れです。

加法定理よりtan(α−β)=(tanα−tanβ)/(1+tanαtanβ)で、これにタンジェントの値を代入して計算します。

tan(α−β)=(−3−2)/(1−3×2)
     =−5/(−5)
     =1

よって、α−β=π/4

つまり2直線のなす角はπ/4となります。


次の問題→y=xとy=(2+√3)xのなす角θ


ちょっと応用問題→なす角がわかっていて、式を求める問題


◆関連項目
加法定理
三角関数まとめ


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