■問題
sinα=−1/3のとき、sin2α,cos2αを求めよ。ただし、π<α<(3/2)πとする。
↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓
10秒でわかる高校数学2B「三角関数」の考え方
「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます!
■解答解説
与えられているサインの角度はαで、求めるサインとコサインの角度は2αだから、2倍角の公式を使って2αの場合の値を求めます。
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α−sin2α
ですね。
今のところsinαのみがわかっているので、まずはcosαを出していきます。
三角関数の相互関係よりsin2α+cos2α=1だから、
cos2α=1−(−1/3)2
=1−1/9
=8/9
cosα=±2√2/3
π<α<(3/2)πより、cosα=−2√2/3
これでコサインの値がわかったので、あとは2倍角の公式に代入していけばOKです!
sin2α=2×(−1/3)×(−2√2/3)
=4√2/9
cos2α=(−2√2/3)2−(−1/3)2
=8/9−1/9
=7/9
これで完成です!
ちなみに、cos2α=1−2sin2αの形に代入して解くこともできます。
解答はもちろんどちらでも同じですし、手間もあまり変わらないので、特に条件がなければ好きな方でOKです!
機会があればこの「別解」も記事にしたいと思います。
◆関連項目
加法定理、2倍角の公式
三角関数の相互関係
三角関数まとめ
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ラベル:数学