高校数学「指数・対数」不等式２x+1＞３x

高校数学「指数・対数」不等式２^x+1＞３^x

■　問題

次の不等式を解け。

２^x+1＞３^x


解答解説はこのページ下に


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■　解答解説

前回の問題と同様に、まずは両辺を対数にしてみましょう！

底を２とする対数にすると、

ｌｏｇ₂２^x+1＞ｌｏｇ₂３^x

これで計算できる(変形できる)ところをやってみると、

(ｘ＋１)ｌｏｇ₂２＞ｘｌｏｇ₂３
　　　　ｘ＋１＞ｘｌｏｇ₂３

これはｘについての不等式なので、ｘについて解きます。
移項してまとめていきましょう！

ｘ−ｘｌｏｇ₂３＞−１
ｘｌｏｇ₂３−ｘ＜１
ｘ(ｌｏｇ₂３−１)＜１

両辺をｌｏｇ₂３−１で割りたいところですが、その前に一応符号を確認します。
ｌｏｇ₂３＞ｌｏｇ₂２だから、ｌｏｇ₂３＞１です。
ということは、ｌｏｇ₂３−１＞０つまり、正の数ですね。
ならば、両辺を割っても不等号の向きは変わりません。

両辺をｌｏｇ₂３−１で割ると、

ｘ＜１／(ｌｏｇ₂３−１)

これが今回の不等式の解です！


◆関連項目
５^1-x＝２^x+1のとき
対数の公式、指数・対数まとめ


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■　問題

令和７年共通テスト試作問題数１Ａより

第１問

[1] ｃを正の整数とする。ｘの２次方程式

　　２ｘ^2＋(４ｃ−３)ｘ＋２ｃ^2−ｃ−１１＝０　……{1]

について考える。

(1) ｃ＝１のとき、{1}の左辺を因数分解すると

　　([ア]ｘ＋[イ])(ｘ−[ウ])

であるから、{1}の解は

　　ｘ＝−[イ]／[ア]，[ウ]

である。


(2) ｃ＝２のとき、{1}の解は

　　ｘ＝(−[エ]±√[オカ])／[キ]

であり、大きい方の解をαとすると

　　５／α＝([ク]＋√[ケコ])／[サ]

である。また、ｍ＜５／α＜ｍ＋１を満たす整数ｍは[シ]である。


(3) 太郎さんと花子さんは、{1}の解について考察している。

┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜太郎：{1}の解はｃの値によって、ともに有理数である場合もあれば、ともに ｜
｜　　　無理数である場合もあるね。ｃがどのような値のときに、解は有理数に｜
｜　　　なるのかな。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜花子：２次方程式の解の公式の根号の中に着目すればいいんじゃないかな。　｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

{1}の解が異なる二つの有理数であるような正の整数ｃの個数は[ス]個である。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　2025年は変更点が多いかも？
　◆２　２次式の因数分解だから「たすきがけ」

(以下略)

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■　解説


　◆１　2025年は変更点が多いかも？

今回から2025年１月の共通テストまでは主に、この「試作問題」の解説を掲載して
いきます。

2021年からスタートした「共通テスト」ですが、2025年は大きめの変更がいくつか
ありそうです。

数学１Ａに関しては、選択問題がなくなり、全問必答となるようです。
また、それぞれの分野で新たに教科書で大きく扱われるようになった分野は、
出題される可能性が高いと思われますので、特に注意して練習しておくことを
おすすめします。

詳しい変更点などは

令和７年度 大学入学共通テストＱ＆Ａ
https://www.dnc.ac.jp/kyotsu/faq.html

こちらをご覧いただくと良いと思います。


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　◆２　２次式の因数分解だから「たすきがけ」

では今回の問題です。
まず最初は、

　　２ｘ^2＋(４ｃ−３)ｘ＋２ｃ^2−ｃ−１１＝０　……{1]

この２次方程式がｃ＝１のとき、左辺を因数分解する。という設問です。

指示の通りにｃ＝１を代入して計算してみましょう！

　２ｘ^2＋(４−３)ｘ＋２−１−１１
＝２ｘ^2＋ｘ−１０

ｘの２乗に係数があるので、いわゆる「たすきがけ」をします。
「たすきがけの方法がわからないよ！」というひとは、こちらをご覧ください。
→http://a-ema.seesaa.net/article/479599846.html

まずは・・・


つづく


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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中学公民「日本国憲法」第三章

中学公民「日本国憲法」第三章

中学公民の範囲で、なるべく覚えておきたい憲法の条文です。

この記事では、「第三章　国民の権利及び義務」を掲載します。


第三章　国民の権利及び義務

〔基本的人権〕
第十一条　国民は、すべての基本的人権の享有を妨げられない。この憲法が国民に保障する基本的人権は、侵すことのできない永久の権利として、現在及び将来の国民に与へられる。

〔自由及び権利の保持義務と公共福祉性〕
第十二条　この憲法が国民に保障する自由及び権利は、国民の不断の努力によつて、これを保持しなければならない。又、国民は、これを濫用してはならないのであつて、常に公共の福祉のためにこれを利用する責任を負ふ。

〔個人の尊重と公共の福祉〕
第十三条　すべて国民は、個人として尊重される。生命、自由及び幸福追求に対する国民の権利については、公共の福祉に反しない限り、立法その他の国政の上で、最大の尊重を必要とする。

〔平等原則、貴族制度の否認及び栄典の限界〕
第十四条　すべて国民は、法の下に平等であつて、人種、信条、性別、社会的身分又は門地により、政治的、経済的又は社会的関係において、差別されない。

〔公務員の選定罷免権、公務員の本質、普通選挙の保障及び投票秘密の保障〕
第十五条　公務員を選定し、及びこれを罷免することは、国民固有の権利である。
２　すべて公務員は、全体の奉仕者であつて、一部の奉仕者ではない。
３　公務員の選挙については、成年者による普通選挙を保障する。
４　すべて選挙における投票の秘密は、これを侵してはならない。選挙人は、その選択に関し公的にも私的にも責任を問はれない。

〔奴隷的拘束及び苦役の禁止〕
第十八条　何人も、いかなる奴隷的拘束も受けない。又、犯罪に因る処罰の場合を除いては、その意に反する苦役に服させられない。

〔思想及び良心の自由〕
第十九条　思想及び良心の自由は、これを侵してはならない。

〔信教の自由〕
第二十条　信教の自由は、何人に対してもこれを保障する。いかなる宗教団体も、国から特権を受け、又は政治上の権力を行使してはならない。
２　何人も、宗教上の行為、祝典、儀式又は行事に参加することを強制されない。
３　国及びその機関は、宗教教育その他いかなる宗教的活動もしてはならない。

〔集会、結社及び表現の自由と通信秘密の保護〕
第二十一条　集会、結社及び言論、出版その他一切の表現の自由は、これを保障する。
２　検閲は、これをしてはならない。通信の秘密は、これを侵してはならない。

〔居住、移転、職業選択、外国移住及び国籍離脱の自由〕
第二十二条　何人も、公共の福祉に反しない限り、居住、移転及び職業選択の自由を有する。
２　何人も、外国に移住し、又は国籍を離脱する自由を侵されない。

〔学問の自由〕
第二十三条　学問の自由は、これを保障する。

〔家族関係における個人の尊厳と両性の平等〕
第二十四条　婚姻は、両性の合意のみに基いて成立し、夫婦が同等の権利を有することを基本として、相互の協力により、維持されなければならない。
２　配偶者の選択、財産権、相続、住居の選定、離婚並びに婚姻及び家族に関するその他の事項に関しては、法律は、個人の尊厳と両性の本質的平等に立脚して、制定されなければならない。

〔生存権及び国民生活の社会的進歩向上に努める国の義務〕
第二十五条　すべて国民は、健康で文化的な最低限度の生活を営む権利を有する。
２　国は、すべての生活部面について、社会福祉、社会保障及び公衆衛生の向上及び増進に努めなければならない。

〔教育を受ける権利と受けさせる義務〕
第二十六条　すべて国民は、法律の定めるところにより、その能力に応じて、ひとしく教育を受ける権利を有する。
２　すべて国民は、法律の定めるところにより、その保護する子女に普通教育を受けさせる義務を負ふ。義務教育は、これを無償とする。

〔勤労の権利と義務、勤労条件の基準及び児童酷使の禁止〕
第二十七条　すべて国民は、勤労の権利を有し、義務を負ふ。

〔勤労者の団結権及び団体行動権〕
第二十八条　勤労者の団結する権利及び団体交渉その他の団体行動をする権利は、これを保障する。

〔納税の義務〕
第三十条　国民は、法律の定めるところにより、納税の義務を負ふ。

〔生命及び自由の保障と科刑の制約〕
第三十一条　何人も、法律の定める手続によらなければ、その生命若しくは自由を奪はれ、又はその他の刑罰を科せられない。

〔裁判を受ける権利〕
第三十二条　何人も、裁判所において裁判を受ける権利を奪はれない。


第三章の穴埋め問題はこちら


日本国憲法全文を確認したい人はこちらへ


憲法の条文に関する問いでは、正確に条文に書いてある通りの言葉で答える必要があります。
何度も読み返して、正確な語句を理解して覚えていきましょう！


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