2024年10月28日

高校数学「図形と方程式」2点(−5,1),(2,8)を通り、x軸に接する円の方程式

高校数学「図形と方程式」2点(−5,1),(2,8)を通り、x軸に接する円の方程式

◆問題

2点(−5,1),(2,8)を通り、x軸に接する円の方程式を求めよ。


円の方程式に関するもう少し難しい問題です。
中心に関する情報はないように見えますが、(x−a)2+(y−b)2=r2を使います。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

2点(−5,1),(2,8)を通り、x軸に接する円の方程式を求めよ。

中心に関する情報は書いてないし、円周上の点も2つしかわからない。
「無理!」となってしまう人も多いと思いますが、そんなときこそわかる情報を一つ一つ確認してできることをやっていく。という意識が大切です。

まず円周上の点は(−5,1)と(2,8)この2点がわかっているので、式さえできればこれらの座標をx,yに代入することができます。

「x軸に接する」ということから何が言えるでしょうか?
円と接線の性質より、中心から接点に引いた半径は接線と垂直に交わる。ということができます。
x軸に対して垂直な線上に中心があるので、つまり、接点の真上に中心がある。と推定できますね!

接点の座標を(a,0)とすれば、中心のx座標もaです。

さらに、x軸から半径の分だけ上に進んだ点が中心だから、中心のy座標は半径と等しくなります。
つまり、半径をrとすれば、中心の座標は(a,r)ですね!

というわけで、円の方程式はまず、

(x−a)2+(y−r)2=r2

このように表すことができます。
x,yに座標を代入すれば、残る文字はa,rだけになるので、連立方程式で解けそうですね。

(−5,1)のとき、
(−5−a)2+(1−r)2=r2
25+10a+a2+1−2r+r2=r2
2+10a−2r+26=0

(2,8)のとき、
(2−a)2+(8−r)2=r2
4−4a+a2+64−16r+r2=r2
2−4a−16r+68=0

これらの連立方程式を解きます。

2+10a−2r+26=a2−4a−16r+68
14a=−14r+42
  a=−r+3

これをa2+10a−2r+26=0に代入すると、
(−r+3)2+10(−r+3)−2r+26=0
2−6r+9−10r+30−2r+26=0
2−18r+65=0
(r−5)(r−13)=0
よって、r=5,13

r=5のとき、a=−5+3=−2
r=13のとき、a=−13+3=−10

これでa,rがわかりました。あとは方程式を答えて完成ですね!

求める方程式は、(x−a)2+(y−r)2=r2だったので、これにそれぞれa,rを代入します。

(x+2)2+(y−5)2=52
(x+2)2+(y−5)2=25

(x+10)2+(y−13)2=132
(x+10)2+(y−13)2=169


◆関連項目
円の方程式の基本
図形と方程式まとめ


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ラベル:数学
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本日配信のメルマガ。2024年共通テスト追試英語第6問A 本文第4段落まで

本日配信のメルマガでは、2024年大学入学共通テスト追試英語第6問Aの本文第4段落までの内容を掲載します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題

2024年大学入学共通テスト追試より

第6問

A Your English teacher has assigned this article to you. You need to
prepare notes to give a short talk.

  [Belief Perseverance]

 There may be some out-of-date rules at your school. If you ask your
teachers to update these rules, your ideas may be rejected. Of course, most
of their objections will be reasonable, but some may be caused by [belief
perseverance], the psychological characteristic of maintaining an existing
belief despite any new information. Although this tendency itself is
neither good nor bad, it may cause conflicts ranging from personal problems
to social phenomena.

A study published in 1980 by Craig A. Anderson and his colleagues describes
this human tendency. In the first stage of their experiment, the
participants were presented with evidence that led them to conclude that
firefighters who were willing to take risks performed their jobs better.
Surprisingly, even after the participants were told that the evidence was
false, they were reluctant to change their conclusions. Why is it difficult
to change our beliefs? This is partly because we have [confirmation bias],
a psychological tendency to look for information consistent with our
existing beliefs. Also, in some cases, the more others attempt to prove our
beliefs wrong, the more firmly we stick to them, which called the [backfire
effect].

 The case of Ignaz Philip Semmelweis demonstrates belief perseverance in
one group in society. He was a 19th-century physician who wondered why more
women died from a fever after giving birth in one place than in another.
His data apparently indicated that hand washing could reduce the number of
occurrences of the deadly fever. However, at that time, handwashing was not
common among doctors. His potentially life-saving idea was ignored by the
medical community, and many doctors rejected it and even harassed him.
Semmelweis' claim was eventually accepted long after his death. This
episode demonstrates how a group of people with belief perseverance can
become aggressive towards innovators and ground-breaking idea. This social
reaction was named the [Semmelweis reflex] after this incident.

 Understanding belief perseverance can give us insights into the ways
people behave. Imagine that you want to study abroad, and your family
strongly opposes it because they believe that the city you plan to live in
is dangerous. Even after showing them data on the city's crime rate, you
may find out that your efforts end up only adding fuel to the fire. If you
encounter this backfire effect, an alternative approach might be needed.
You could ask your teacher to speak with your family on your behalf, taking
advantage of a related behavior that people tend to trust the opinions of
an authority.


つづく


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■ スラッシュリーディング

A Your English teacher has assigned this article / to you.
あなたの英語の先生はこの記事を課題に出した / あなたに

You need to prepare notes / to give a short talk.
あなたはメモを用意する必要がある / 短い話をするために


  [Belief Perseverance][信念の持続]

 There may be some out-of-date rules / at your school.
いくつかの時代遅れのルールがあるかも知れない / あなたの学校で

If you ask your teachers / to update these rules,
/ your ideas may be rejected.


(以下略)


(有料版では、解説の続きも掲載しています)
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ラベル:英語
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高校数学「図形と方程式」中心がx軸上にあり、2点(3,5),(−3,7)を通る円の方程式

高校数学「図形と方程式」中心がx軸上にあり、2点(3,5),(−3,7)を通る円の方程式

◆問題

中心がx軸上にあり、2点(3,5),(−3,7)を通る円の方程式を求めよ。


円の方程式に関する少し難しい問題です。
中心に関する情報があるので、(x−a)2+(y−b)2=r2を使います。


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◆解答解説

中心がx軸上にあり、2点(3,5),(−3,7)を通る円の方程式を求めよ。

中心がx軸上にあるということは、中心のy座標はゼロですね。
だから中心の座標を(a,0)と置いてみます。

これを円の方程式に代入すると、

(x−a)2+y2=r2

このような式が得られます。
これに通る点の座標を代入すれば、文字x,yが消えて、aとrについての方程式になります。
座標は2ヶ所与えられているので、式を2つ作ることができて、連立すれば解ける。という方針です!
やってみましょう!

(3,5)を代入すると、
(3−a)2+52=r2
9−6a+a2+25=r2
2−6a+34=r2

(−3,7)を代入すると、
(−3−a)2+72=r2
9+6a+a2+49=r2
2+6a+58=r2

これら2つの式はとも右辺がr2だから、左辺同士をイコールで結ぶことができます。

2+6a+58=a2−6a+34

あとはこの方程式を解きます。

6a+6a=34−58
  12a=−24
    a=−2

2−6a+34=r2にa=−2を代入して、

2=(−2)2−6×(−2)+34
 =4+12+34
 =50
よって、r=√50=5√2

求める方程式は、

(x+2)2+y2=50


◆関連項目
円の方程式の基本
図形と方程式まとめ


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ラベル:数学
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