2024年11月14日

高校数学「微分」3次方程式2x3−6x−1=0の実数解の個数

高校数学「微分」3次方程式2x3−6x−1=0の実数解の個数


◆問題

3次方程式2x3−6x−1=0の実数解の個数を求めよ。



↓解答解説はお知らせの下↓

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◆解答解説

3次方程式2x3−6x−1=0の実数解の個数を求めよ。

方程式の実数解は、関数y=f(x)のx軸との交点により求めることができます。
だから、x軸との共有点の個数が実数解の個数と等しくなります。

3次関数とx軸との共有点の個数は、極値とx軸との位置関係により決まる。ということができます。

極値を使うのだから、まずは微分ですね!

f(x)=2x3−6x−1とおくと、
f'(x)=6x2−6

f'(x)=0のとき極値だから、

6x2−6=0
 x2−1=0
   (x+1)(x−1)=0
よって、x=±1

そして増減表です。




−1
y'
極大極小


f(−1)=2(−1)3−6・(−1)−1
   =−2+6−1
   =3
f(1)=2−6−1
  =−5

つまり、極大値は3,極小値は−5です。
極大値は正の数、極小値は負の数ですね。
ということは、極大値と極小値の間にx軸がくるので、この3次関数とx軸は3つの交点をもちます。

交点が3つだから、もとの3次方程式の解の個数は3つです。


◆関連項目
3次方程式x3+4x2−3x+a=0の異なる実数解の個数
微分積分(数学2)まとめ


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