【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
令和７年共通テスト試作問題数２ＢＣより
第５問
花子さんは、マイクロプラスチックと呼ばれる小さなプラスチック片(以下MP)に
よる海洋中や大気中の汚染が、環境問題となっていることを知った。花子さんたち
49人は、面積が50ａ(アール)の砂浜の表面にあるMPの個数を調べるため、それぞれが
無作為に選んだ20cm四方の区画の表面から深さ３cmまでをすくい、MPの個数を研究所
で数えてもらうことにした。そして、この砂浜の１区画あたりのMPの個数を
確率変数Ｘとして考えることにした。
このときＸの母平均をｍ，母標準偏差をσとし、標本49区画の１区画あたりのMPの
個数の平均値を表す確率変数をＸの平均とする。
花子さんたちが調べた49区画では、平均値が16、標準偏差が２であった。
(1) 砂浜全体に含まれるMPの全個数Ｍを推定することにする。
花子さんは、次の[方針]でＭを推定することとした。
┌―方針――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ 砂浜全体には20cm四方の区画が125000個分あり、Ｍ＝125000×ｍなので、Ｍ｜
｜をＷ＝125000×Ｘの平均で推定する。 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
確率変数Ｘの平均は、標本の大きさ49が充分に大きいので、平均[ア]、標準偏差
[イ]の正規分布に近似的に従う。
そこで、[方針]に基づいて考えると、確率変数Ｗは平均[ウ]、標準偏差[エ]の
正規分布に近似的に従うことがわかる。
このとき、Ｘの母標準偏差σは標本の標準偏差と同じσ＝２と仮定すると、Ｍに
対する信頼度95％の信頼区間は
[オカキ]×１０^4≦Ｍ≦[クケコ]×１０^4
となる。
[ア]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ｍ {1} ４ｍ {2} ７ｍ {3} １６ｍ {4} ４９ｍ ｜
｜{5} Ｘ {6} ４Ｘ {7} ７Ｘ {8} １６Ｘ {9} ４９Ｘ ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[イ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} σ {1} ２σ {2} ４σ {3} ７σ {4} ４９σ ｜
｜{5} σ／２ {6} σ／４ {7} σ／７ {8} σ／４９ ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ウ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} (１６／４９)ｍ {1} (４／７)ｍ {2} ４９ｍ ｜
｜{3} (125000／４９)ｍ {4} 125000ｍ {5} (１６／４９)Ｘの平均 ｜
｜{6} (４／７)Ｘの平均 {7} ４９Ｘの平均 {8} (125000／４９)Ｘの平均｜
｜{9} 125000Ｘの平均 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[エ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} σ／４９ {1} σ／７ {2} ４９σ {3} (125000／４９)σ ｜
｜{4} (31250／７)σ {5} (125000／７)σ {6} 31250σ ｜
｜{7} 62500σ {8} 125000σ {9} 250000σ ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(2) 研究所が昨年調査したときには、１区画あたりのMPの個数の母平均が15、
母標準偏差が２であった。今年の母平均ｍが昨年とは異なるといえるかを、有意水準
５％で仮説検定をする。ただし、母標準偏差は今年もσ＝２とする。
まず、帰無仮説は「今年の母平均は[サ]」であり、対立仮説は
「今年の母平均は[シ]」である。
次に、帰無仮説が正しいとすると、Ｘの平均は[ス]、標準偏差[セ]の正規分布に
近似的に従うため、確率変数Ｚ＝(Ｘの平均－[ス])／[セ]は標準正規分布に近似的に
従う。
花子さんたちの調査結果から求めたＺの値をｚとすると、標準正規分布において
確率Ｐ(Ｚ≦－|ｚ|)と確率Ｐ(Ｚ≧|ｚ|)の和は０．０５よりも[ソ]ので、有意水準
５％で今年の母平均ｍは昨年と[タ]。
[サ]，[シ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} Ｘの平均である {1} ｍである {2} 15である {3} 16である ｜
｜{4} Ｘの平均ではない {5} ｍではない ｜
｜{6} 15ではない {7} 16ではない ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ス]，[セ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ４／４９ {1} ２／７ {2} １６／４９ {3} ４／７ {4} ２ ｜
｜{5} １５／７ {6} ４ {7} １５ {8} １６ ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ソ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} 大きい {1} 小さい ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[タ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} 異なるといえる {1} 異なるとはいえない ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
確率統計まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/503260113.html
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■ 解説目次
◆１ 第５問は確率統計
◆２ 正規分布Ｎ(ｍ，σ^2／ｎ)とみなして
(以下略)
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■ 解説
◆１ 第５問は確率統計
大多数の大学受験生が受ける「共通テスト」ですが、2025年は大きめの変更が
いくつかありそうです。
数学２Ｂに関しては、第１問～第３問が必答、第４問～第７問のうち３問を選択
となるようです。
今回掲載する第５問の主な内容は、確率統計です。
以前は選ぶ人は少なかったと思いますが、数学３をやらない人の場合、第７問の
複素数平面は学校では習わない人も多いと思いますので、実質的に確率統計が必答に
なったようなものです。
詳しい変更点などは
令和７年度 大学入学共通テストＱ＆Ａ
https://www.dnc.ac.jp/kyotsu/faq.html
こちらをご覧いただくと良いと思います。
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◆２ 正規分布Ｎ(ｍ，σ^2／ｎ)とみなして
では早速今回の問題です。
確率統計の問題では、とにかく問題の設定を読み取ることが大切です。
あとは聞いている通りに公式を使って必要な数値を計算するだけ・・・
という方針でだいたいはできるはずです。
内容の要点としては、
花子さんたちは砂浜のマイクロプラスチックの数を調べた。
花子さんたちが調べた49区画では、平均値が16、標準偏差が２であった。
ということですね。
そして(1)では、砂浜全体に含まれるMPの全個数Ｍを推定します。
方針は次のようになっています。
┌―方針――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ 砂浜全体には20cm四方の区画が125000個分あり、Ｍ＝125000×ｍなので、Ｍ｜
｜をＷ＝125000×Ｘの平均で推定する。 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
そして、「確率変数Ｘの平均は、標本の大きさ49が充分に大きい」ので、
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル：数学
