2025年01月23日

高校数学「指数方程式」2x−24・2-x=5(解答解説ページ)

高校数学「指数方程式」2x−24・2-x=5(解答解説ページ)

次の方程式を解け。
x−24・2-x=5


問題ページはこちら


◆解答解説

x=Aなどとおくとわかりやすいと思います。
もちろん置き換えなくても解けますが、この記事では置き換えて解いていくこととします。

-x=1/22だから、2-x=1/Aとなります。
つまり与式は、

A−24・1/A=5

このように書き換えることができます。
分母に文字があるので、それを消すために両辺にAをかけると、

2−24=5A
2−5A−24=0
(A+3)(A−8)=0
よって、A=−3,8

A=2x>0だから、A=−3は不適。

ということで、A=2x=8です。
つまり、2x=23より、x=3


他の問題→指数・対数まとめ


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ヒント:2xについての2次方程式とみなして・・・?
ラベル:数学
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高校数学「指数方程式」2x−24・2-x=5(問題ページ)

高校数学「指数方程式」2x−24・2-x=5(問題ページ)

次の方程式を解け。
x−24・2-x=5


大学入試レベルとしては基本問題になりますが、この単元を習ったばかりの人にとっては難問だと思います。
数学2BCを使う人は、入試までには、このくらいは楽勝で解けるようにしましょう!


解答解説はこちら


他の問題→指数・対数まとめ


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ヒント:2xについての2次方程式とみなして・・・?
ラベル:数学
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2025年01月22日

高校化学「無機物質の性質」2025年共通テスト第3問より。NaIからI2を得る反応について

高校化学「無機物質の性質」2025年共通テスト第3問より。NaIからI2を得る反応について


◆問題

日本とチリは世界有数のヨウ素の生産国である。ヨウ素I2の生成・製造について、次の問い(a〜c)に答えよ。

a 昆布を燃やした灰にはヨウ化ナトリウムNaIが含まれている。この灰をビーカーに入れて水を加え、数分間煮沸した後に濾過すると、NaIを含むろ液が得られる。このろ液からI2を得ることができる。
 NaI水溶液に希硫酸H2SO4と過酸化水素H22の水溶液を加えると、次の式(6)のようにI2が生成する。

  2NaI+2H2SO4+H22→2NaHSO4+2H2O+I2  (6)

 NaI水溶液からI2を得る反応に関連する記述として誤りを含むものはどれか。

@式(6)において、H22は酸化剤としてはたらく。
A式(6)の反応後の混合物にヘキサンを加えると、I2はヘキサンに抽出される。
B式(6)において、H22の代わりに塩化スズ(U)SnCl2を用いても、I2を生成させることができる。
CNaI水溶液に塩素Cl2を吹き込むと、I2を生成させることができる。


解答解説はこのページ下


★★ お知らせ ★★

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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解答

@式(6)において、H22は酸化剤としてはたらく。
→○
Iの酸化数が−1→0となっていて、酸化されているので、H22は酸化剤と考えられます。

A式(6)の反応後の混合物にヘキサンを加えると、I2はヘキサンに抽出される。
→○
ヨウ素は水よりも油に溶けやすい性質があるので、有機溶媒であるヘキサンに溶けて抽出されます。

B式(6)において、H22の代わりに塩化スズ(U)SnCl2を用いても、I2を生成させることができる。
→×
過酸化水素も塩化スズも還元剤としてはたらくという点では「同じ性質」だから置き換えても大丈夫かも?と思わせようとして作られた選択肢ではないかと思います。

CNaI水溶液に塩素Cl2を吹き込むと、I2を生成させることができる。
→○
いわゆる「ブローアウト法」ですね。反応式は以下のようになります。
2NaI+Cl2→I2+2NaCl


というわけで、解答はBです!


ヨウ素の基本的な性質についてはこちらをご覧ください。


◆関連項目
非金属元素典型金属元素遷移元素


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本日配信のメルマガ。2025年共通テスト英語第1問 和訳

本日配信のメルマガでは、2025年大学入学共通テスト英語第1問の本文の和訳を掲載します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題

2025年大学入学共通テストより

第1問

Your host family in the US is planning to buy a small aquarium. You found
this helpful pamphlet.

┌────────────────────────────────────┐
|               [Beginners!]               |
|         [Decorate Your Freshwater Aquarium]          |
|       Start your wonderful hobby of keeping fish         |
|         by following these three easy steps!         |
├────────────────────────────────────┤
|[1. Consider what kind of fish you want]                |
|Some fish need open spaces for swimming, while other want places to   |
|hide. Also, some fish need sand to cover themselves in. For other    |
|non-hiding fish, small stones can be used.               |
├────────────────────────────────────┤
|[2. Select decorations]                         |
|Natural and artificial decorations are necessary to keep fish in good  |
|health and should cover 50-70% of the area. Fish from fast-moving or   |
|deep water need solid objects such as small rocks and logs. Those from |
|slow-moving or shallow water prefer soft objects like plants. Avoid any |
|plastic or rubber items not intended for aquariums. Clean all      |
|decorations carefully to make sure there is nothing harmful on them.  |
├────────────────────────────────────┤
|[3. Position decorations]                        |
|Fish need room to move. Leave space around the edges of the tank. Place |
|tall decorations and plants at the back, and put short ones at the    |
|front.                                 |
└────────────────────────────────────┘


つづく

※一部図や記号は省略または類似のものに変更、マーク部分の□や下線部は[ ]、
マル1は{1}で表記しています。

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■ スラッシュリーディング

Your host family / in the US / is planning
/ to buy a small aquarium.
あなたのホストファミリーは / アメリカの / 計画している
/ 小さな水層を買うことを

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あなたは見つけた / この助けになるパンフレットを

┌────────────────────────────────────┐
[Beginners!] [初心者向け!]
[Decorate Your Freshwater Aquarium] [淡水水層を飾る]

Start your wonderful hobby / of keeping fish / by following
/ these three easy steps!


(以下略)


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高校化学「無機物質の性質」2025年共通テスト第3問より。気体の性質に関する問題

高校化学「無機物質の性質」2025年共通テスト第3問より。気体の性質に関する問題


◆問題

次の式(2)〜(5)は、気体が生成する化学反応式であり、空欄[ア]〜[エ]は、それぞれ生成した気体の化学式を表している。

  Cu+4HNO3(濃硝酸)→Cu(NO3)2+H2O+2[ア]  (2)
  3Cu+8HNO3(希硝酸)→3Cu(NO3)2+4H2O+[イ]  (3)
  CaF2+H2SO4(濃硝酸)→加熱→CaSO4+2[ウ]  (4)
  3O2→無声放電→2[エ]  (5)

気体[ア]〜[エ]に関する記述として誤りを含むものはどれか。

@気体[ア]を水に通じると、酸性の水溶液が生じる。
A気体[イ]は下方置換で捕集する。
B気体[ウ]の水溶液の保存には、ポリエチレン製の容器を用いる。
C気体[エ]の検出には、湿ったヨウ化カリウムデンプン紙を利用することができる。


解答解説はこのページ下


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◆解答

まずはそれぞれの反応でできる気体から何かわからないと始まりません。
物質の組み合わせで暗記している人も多いかと思いますが、化学反応では、反応の前後で原子が増えたり減ったりしないことに注意すれば、残った原子の組み合わせでできる気体を考えることにより、何の気体が生じるかわかるはずです。


  Cu+4HNO3(濃硝酸)→Cu(NO3)2+H2O+2[ア]  (2)

もともと左辺にあった原子のうち、CuとHはすでに全て使っています。Nはあと2個、Oはあと4個残っていますね。
[ア]の係数は2だから、残りの原子を半分ずつ使えばちょうど合います。
つまり、[ア]はNO2と推定できますね。


  3Cu+8HNO3(希硝酸)→3Cu(NO3)2+4H2O+[イ]  (3)

これもCuとHはすでに全て使っています。残っているのは、Nが2個、Oも2個だから、これらを半分ずつにして[イ]はNOですね。


  CaF2+H2SO4(濃硝酸)→加熱→CaSO4+2[ウ]  (4)

左辺にあった原子のうち、CaとSO4がすでに使われています。
残りはFとHが2個ずつです。
だから、[ウ]はHFですね!


  3O2→無声放電→2[エ]  (5)

3分子の酸素が、2分子の[エ]になる。
3オゾンですね!


これで気体はわかったので、あとはそれぞれの性質が適切かどうかを判断します。


@気体[ア]→NO2を水に通じると、酸性の水溶液が生じる。
→○
詳しい反応経路はここでは省略しますが、硝酸が生じます。

A気体[イ]→NOは下方置換で捕集する。
→×
一酸化窒素は水に溶けにくいので、水上置換で捕集します。また、空気中の酸素と反応しNO2になってしまうので、下方置換には適しません。水に溶けにくいかどうかを覚えていなくても、NOが酸素と反応してNO2になりやすいことは想像できると思います。ということは、空気に触れる捕集方法は適さないと判断できる。つまり、知識がなくても正解できる問題となっていますね。
ちなみに、@のNO2は水に溶けやすいので下方置換で捕集します。

B気体[ウ]→HFの水溶液の保存には、ポリエチレン製の容器を用いる。
→○
HFの水溶液フッ化水素酸は、ガラスを溶かす性質があるので、普通のガラスの瓶などは使えず、主にポリエチレン製の容器に保存します。

C気体[エ]→O3の検出には、湿ったヨウ化カリウムデンプン紙を利用することができる。
→○
高校化学「無機物質の性質」オゾンの性質等もご覧ください。


というわけで問題の正解は2番です。


◆関連項目
非金属元素典型金属元素遷移元素


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2025年01月21日

高校化学「無機物質の性質」2025年共通テスト第3問より。ケイ酸ナトリウムに関する正誤問題

高校化学「無機物質の性質」2025年共通テスト第3問より。ケイ酸ナトリウムに関する正誤問題


◆問題

二酸化ケイ素SiO2の粉末に、炭酸ナトリウムNa2CO3の粉末を混ぜて高温で反応させると、次の式のように、ケイ酸ナトリウム(メタケイ酸ナトリウム)Na2SiO3が生成する。

  SiO2+Na2CO3→Na2SiO3+CO2

 Na2SiO3に水を加えて加熱すると、水ガラスと呼ばれる粘性の大きな液体になる。Na2SiO3と水ガラスに関する記述として誤りを含むものはどれか。


@SiO2の粉末に水酸化ナトリウムNaOHの粉末を混ぜて高温で反応させてもNa2SiO3が生成する。

ANa2SiO3のケイ素の酸化数は+4である。

B水ガラスを乾燥させたものをシリカゲルとよぶ。

C水ガラスに塩酸を加えるとケイ酸が生成する。


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◆解答

ケイ酸や水ガラスについてはこちらもご覧ください。

@SiO2の粉末に水酸化ナトリウムNaOHの粉末を混ぜて高温で反応させてもNa2SiO3が生成する。
→○

ANa2SiO3のケイ素の酸化数は+4である。
→○
Naが2個で+2,Oが3個で−6ですね。合計でゼロになるには、Siは+4となります。

B水ガラスを乾燥させたものをシリカゲルとよぶ。
→×
単に乾燥させただけではシリカゲルになりません。→Cの選択肢がその方法の一部です。

C水ガラスに塩酸を加えるとケイ酸が生成する。
→○
ケイ酸をさらに加熱して脱水するとシリカゲルが得られます。


というわけで問題の正解は3番です。


◆関連項目
ケイ酸二酸化ケイ素
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高校化学「遷移元素」2025年共通テスト第3問より。遷移元素の化合物の正誤問題

高校化学「遷移元素」2025年共通テスト第3問より。遷移元素の化合物の正誤問題


◆問題

遷移元素の化合物に関する記述として誤りを含むものはどれか。

@硫酸銅(U)CuSO4水溶液に水酸化ナトリウムNaOH水溶液を加えると沈殿が生じる。

A鉄(V)イオンFe3+を含む水溶液にヘキサシアニド鉄(V)酸カリウムK3[Fe(CN)6]水溶液を加えると青白色沈殿が生じる。

B過マンガン酸カリウムKMnO4は、塩基性水溶液中で酸化剤としてはたらくと、酸化マンガン(W)MnO2になる。

C酸化銀Ag2Oに過剰のアンモニア水を加えると錯イオンが生じる。



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◆解答

@硫酸銅(U)CuSO4水溶液に水酸化ナトリウムNaOH水溶液を加えると沈殿が生じる。
→○
この沈殿がCu(OH)2で、青白色沈殿ですね。

A鉄(V)イオンFe3+を含む水溶液にヘキサシアニド鉄(V)酸カリウムK3[Fe(CN)6]水溶液を加えると青白色沈殿が生じる。
→×
Fe3+の場合は、青白色ではなく、褐色です。
鉄イオンに関する反応で青白色になるのは、Fe2+の場合です。
鉄イオンについてはこちらの記事もご覧ください。

B過マンガン酸カリウムKMnO4は、塩基性水溶液中で酸化剤としてはたらくと、酸化マンガン(W)MnO2になる。
→○
ちなみに硫酸酸性ではMn2+ですね。

C酸化銀Ag2に過剰のアンモニア水を加えると錯イオンが生じる。
→○
この錯イオンは、ジアンミン銀(T)イオン[Ag(NH3)2]+と考えられます。


というわけで問題の正解は2番です。


◆関連項目
遷移元素典型金属元素まとめ


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本日配信のメルマガ。2025年共通テスト数学1A第1問[1]

本日配信のメルマガでは、2025年大学入学共通テスト数学1A第1問[1]を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2025年共通テスト数1Aより

第1問

[1] a,bを実数とする。xについての方程式

  (2a+4b−2)x^2+(5a+11)x−b−8=0 ……{1}

を考える。

(1) a=1とする。
 bに着目すると、{1}の左辺は

  (4x^2−1)b+16x−8 ……{2}

と表せる。よって、{2}を因数分解すると

  (2x−1)([ア]bx+b+[イ])

となる。したがって、x=1/2は{1}の解の1つであることがわかる。


(2) b=2とする。

(i) {1}の左辺を因数分解すると

  ([ウ]x+[エ]){(a+[オ])x−[カ]}

となる。

(ii) a=2√2のとき、{1}の解は

  x=−[エ]/[ウ],[キ]−[ク]√2

となる。

(iii) a=−[オ]であることは、{1}の解がx=−[エ]/[ウ]だけであるための[ケ]。

[ケ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 必要条件であるが、十分条件ではない                |
|{1} 十分条件であるが、必要条件ではない                |
|{2} 必要十分条件である                        |
|{3} 必要条件でも十分条件でもない                   |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 第1問[1]は2次方程式(と必要・十分条件)
 ◆2 普通に因数分解

(以下略)

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■ 解説


 ◆1 第1問[1]は2次方程式(と必要・十分条件)

2025年共通テスト数学1A最初の設問は、2次方程式の問題でした。
無理矢理長文の対話文を入れることもなく、普通の問題だったのは好印象です。

共通テストでは丁寧な誘導があることが多いので、しっかり誘導に従って計算して
いきましょう!

この設問の最後には、必要条件・十分条件の設問もあります。
基本的な見分け方がわからない!という人は、この記事も参考にしてみてください。
http://a-ema.seesaa.net/article/464680254.html


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 ◆2 普通に因数分解

それでは最初の設問です。

  (2a+4b−2)x^2+(5a+11)x−b−8=0 ……{1}

という式があって、まずはa=1の場合について考えます。

a=1を代入すると

 (2+4b−2)x^2+(5+11)x−b−8
=4bx^2+16x−b−8
=(4x^2−1)b+16x−8

このようになります。
さらにコレを因数分解していきます。


つづく


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★【高校化学】読むだけでわかる!理論・無機・有機化学の考え方
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【高校物理】読むだけでわかる!物理基礎・物理の考え方
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【中学5科】高校入試の重要ポイント
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高校数学「分数関数」y=(x+1)/(x−1)のグラフ

高校数学「分数関数」y=(x+1)/(x−1)のグラフ

◆問題

次の関数のグラフを描け。

(1) y=(x+1)/(x−1)


↓↓解答解説はお知らせの下↓↓

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◆解答・解説

分数関数は中学数学の反比例の応用です。
反比例のグラフを平行移動したもので、

y=k/(x−p)+q

この式で表されるグラフは、y=k/xをx軸方向にp,y軸方向にq移動したものになります。
漸近線は、x=p,y=qですね。

今回の問題では、y=(x+1)/(x−1)だから、まずはこれをy=k/(x−p)+qの形に直します。

分子は定数にするので、分子と分母が約分できる形に変形することを目指します。

y=(x−1+2)/(x−1)

分子にもx−1が出てきました。こうなったら、2つの分数に分けて約分すればOKです!

 =(x−1)/(x−1)+2/(x−1)
 =1+2/(x−1)
 =2/(x−1)+1

これで式の変形は終わりです。

つまり、漸近線はx=1,y=1です。

グラフは以下のようになります。
math3p84_3_1.png


次の問題→y=(2x−3)/(x−2)


◆関連項目
反比例(中学数学)
双曲線
分数関数等まとめ


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2025年01月20日

高校数学「指数・対数」指数のちょっとだけ難しい計算A

高校数学「指数・対数」指数のちょっとだけ難しい計算A

■ 問題

次の計算をせよ。

(1) 25/3−22/3

(2) (31/3+3-2/3)3


(2)の解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

(2) (31/3+3-2/3)3

指数・対数の計算では、通常の文字式と同様に、全く同じものは足したり引いたりすることができます。
「2AB+AB=3AB」みたいなかんじですね。
逆に、全く同じでないならば足したり引いたりすることはできません。

そして、普通の式と同様に展開や因数分解の公式を使うことができます。
今回は3乗なので、3乗の公式で普通に展開します。

 (31/3+3-2/3)3
=(31/3)3+3(31/3)2-2/3+3・31/3(3-2/3)2+(3-2/3)3
=3+3・1+3・3-1+3-2
=3+3+1+1/9
=(27+27+9+1)/9
=64/9


(1)に戻る→5/3−22/3


◆関連項目
指数・対数まとめ


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2025年01月19日

高校数学「指数・対数」指数のちょっとだけ難しい計算@

高校数学「指数・対数」指数のちょっとだけ難しい計算@

■ 問題

次の計算をせよ。

(1) 25/3−22/3

(2) (31/3+3-2/3)3


(1)の解答解説はこのページ下に


★★ お知らせ ★★


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■ 解答解説

(1) 25/3−22/3

指数・対数の計算では、通常の文字式と同様に、全く同じものは足したり引いたりすることができます。
「2AB+AB=3AB」みたいなかんじですね。
逆に、全く同じでないならば足したり引いたりすることはできません。

今回の問題では、25/3と22/3は、底の2は同じですが、指数の部分は違うので、そのままでは加減できません。
だからまずは、22/3でくくります。

=22/3(23/3−1)

カッコを外したらもとに戻るようにする。と考えると、カッコの中身を正しく作りやすいはずです。

=22/3(2−1)
=22/3

特に指示がなければこれで終わりでOKです!
分数の指数は、累乗根の形に直すことができます。
累乗根の形に直したければ、

3√22 ←2の2乗の3乗根

このようになります。


次の問題→(31/3+3-2/3)3


◆関連項目
指数・対数まとめ


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ラベル:数学
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高校数学「指数・対数」0.2,√5,3√0.04,4√0.008を小さい順に

高校数学「指数・対数」0.2,√5,3√0.04,4√0.008を小さい順に

■ 問題

次の4つの数を小さい順に並べよ。

0.2,√5,3√0.04,4√0.008


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

そのままでは大小を比較しにくいので、4つの数を同じパターンで表すことを考えます。
いろいろな方法がありますが、基本的には、底をそろえて指数で表すのがやりやすいと思います。

0.2,√5,3√0.04,4√0.008

これらの4つの数なので、0.2を使って全て表す。という方針でいきます。


0.2=0.21


5は0.2でどう表すかというと、分数にすればOKです。
5=5/1=1/0.2=0.2-1だから、√5=0.2-1/2


あとの2つは累乗根なので、指数と√の関係を普通に使って表します。

3√0.04=3√(0.2)2=0.22/3


4√0.008=4√(0.2)3=0.23/4


全て0.2の累乗の形で表したので、大小を比較しやすくなりました。
あとは指数の大小の順に・・・といきたいところですが、底が0.2で1より小さいので、大小関係は逆になります。
つまり、指数の値が小さい数が大きく、指数の値が大きい数は小さいことになります。

1>3/4>2/3>−1/2だから、

0.2<4√0.008<3√0.04<√5

これで完成です!


◆関連項目
指数・対数まとめ


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高校数学「微分積分」「接線」y=6x2−3xとy=(3/2)x2+aが共有点を…

高校数学「微分積分」「接線」y=6x2−3xとy=(3/2)x2+aが共有点を…

■ 問題

y=6x2−3xとy=(3/2)x2+aが共有点を持ち、さらにその点においてそれぞれの曲線の接線が等しくなるようなaの値と接線の方程式を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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■ 解答解説

y=6x2−3xとy=(3/2)x2+aが共有点を持ち、さらにその点においてそれぞれの曲線の接線が等しくなるようなaの値を全て求めよ。


条件に従って一つ一つわかることを表していきましょう!

共有点における接線が等しくなるので、まずはそれぞれ微分してみます。

y'=12x−3
y'=3x

ですね。
接線が等しいということはもちろん傾きも等しいです。
つまり、y'も等しいはずです。だから、

 12x−3=3x
12x−3x=3
    9x=3
     x=1/3

というわけで、接点のx座標は1/3であることがわかりました。
このときy'は、y'=3・1/3=1だから、接線の傾きは1です。

さらに、y=6x2−3xにx=1/3を代入すると、

y=6・1/9−3・1/3
 =2/3−1
 =1/3

つまり、接点の座標は(1/3,1/3)です。

これで接線の方程式がわかります。直線の式の公式に傾きと座標を代入すると、

y−1/3=1(x−1/3)
    y=x−1/3+1/3
    y=x

接点の座標をy=(3/2)x2+aに代入すると、

1/3=(3/2)・1/9+a
1/3=1/6+a
  a=1/3−1/6
  a=1/6

というわけで、接線の方程式はy=x,aの値は1/6です。


◆関連項目
曲線y=x3+3x2の接線のうち(0,a)を通るもの
微分積分(数学2)まとめ

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2025年01月18日

本日配信のメルマガ。2024年共通テスト追試英語第6問A

本日配信のメルマガでは、2024年大学入学共通テスト英語追試第6問Aの内容を掲載します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題

2024年大学入学共通テスト追試より

第6問

A Your English teacher has assigned this article to you. You need to
prepare notes to give a short talk.

  [Belief Perseverance]

 There may be some out-of-date rules at your school. If you ask your
teachers to update these rules, your ideas may be rejected. Of course, most
of their objections will be reasonable, but some may be caused by [belief
perseverance], the psychological characteristic of maintaining an existing
belief despite any new information. Although this tendency itself is
neither good nor bad, it may cause conflicts ranging from personal problems
to social phenomena.

A study published in 1980 by Craig A. Anderson and his colleagues describes
this human tendency. In the first stage of their experiment, the
participants were presented with evidence that led them to conclude that
firefighters who were willing to take risks performed their jobs better.
Surprisingly, even after the participants were told that the evidence was
false, they were reluctant to change their conclusions. Why is it difficult
to change our beliefs? This is partly because we have [confirmation bias],
a psychological tendency to look for information consistent with our
existing beliefs. Also, in some cases, the more others attempt to prove our
beliefs wrong, the more firmly we stick to them, which called the [backfire
effect].

 The case of Ignaz Philip Semmelweis demonstrates belief perseverance in
one group in society. He was a 19th-century physician who wondered why more
women died from a fever after giving birth in one place than in another.
His data apparently indicated that hand washing could reduce the number of
occurrences of the deadly fever. However, at that time, handwashing was not
common among doctors. His potentially life-saving idea was ignored by the
medical community, and many doctors rejected it and even harassed him.
Semmelweis' claim was eventually accepted long after his death. This
episode demonstrates how a group of people with belief perseverance can
become aggressive towards innovators and ground-breaking idea. This social
reaction was named the [Semmelweis reflex] after this incident.

 Understanding belief perseverance can give us insights into the ways
people behave. Imagine that you want to study abroad, and your family
strongly opposes it because they believe that the city you plan to live in
is dangerous. Even after showing them data on the city's crime rate, you
may find out that your efforts end up only adding fuel to the fire. If you
encounter this backfire effect, an alternative approach might be needed.
You could ask your teacher to speak with your family on your behalf, taking
advantage of a related behavior that people tend to trust the opinions of
an authority.

 If someone presents you with hard-to-believe information, be careful not
to reject it immediately. If your internal voice warns you not to act on
that information, it is time to remind yourself of belief perseverance. To
be stubborn may not be good for you. However, in many cases, the
persistence of existing beliefs is desirable or even necessary these days.
Remember that the Internet conveys not only accurate but also unreliable
information. Belief perseverance can also protect you from potentially
false information. In other words, take time to find out more before
accepting new information. After all, we humans have developed belief
perseverance over time to ensure our survival. Understanding human nature
is one of the keys to keeping your life balanced.


Your notes:

  [Belief Perseverance (BP)]

[BP:]
・is a tendency to maintain an existing belief despite any new information.
・can be [ 39 ].

[Outline by paragraph]
  1. Introduction to BP
  2. Experiment and explanation
  3. [ 40 ]
  4. [ 41 ]
  5. Final remarks

[Stories mentioned in the article]
・The firefighters story shows us that [ 42 ].
・The Semmelweis story tells us that even a truly innovative idea with
sufficient evidence can be initially rejected.

[Practical lessons from the article]
Learning about the nature of human psychology helps us to [ 43 ].


問1 Choose the best option for [ 39 ].
{1} a barrier which stops people from expressing their opinions
{2} a cause of positive or negative outcomes for anyone
{3} a major disadvantage for people who are easily convinced
{4} an obstacle preventing us from keeping our beliefs strong

問2 Choose the best options for [ 40 ] and [ 41 ].
{1} A story of a doctor who rejected handwashing
{2} An example of the social consequences of BP
{3} An example showing the difficulty of understanding others
{4} Application of BP knowledge when convincing others
{5} Strategies for effectively countering new information
{6} Tendency to search for advice from specialists

問3 Choose the best option for [ 42 ].
{1} BP appears to have an influence on anyone, even in situations one
wouldn't expect
{2} confirmation bias is found when people want to believe new information
{3} the backfire effect often happens when a stubborn person's opinion is
rejected
{4} the Semmelweis reflex is often observed in occupations where risks are
common

問4 Choose the best option for [ 43 ].
{1} analyze historical discoveries from a scientific point of view
{2} make reasonable decisions when dealing with new information
{3} recognize immediately whether given information is true or not
{4} understand when it is appropriate or necessary to take risks


※一部記号は省略、マーク部分の□や下線部は[ ]、マル1は{1}で表記しています。

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■ スラッシュリーディング

A Your English teacher has assigned this article / to you.
あなたの英語の先生はこの記事を課題に出した / あなたに

You need to prepare notes / to give a short talk.
あなたはメモを用意する必要がある / 短い話をするために


  [Belief Perseverance][信念の持続]

 There may be some out-of-date rules / at your school.
いくつかの時代遅れのルールがあるかも知れない / あなたの学校で

If you ask your teachers / to update these rules,
/ your ideas may be rejected.
もしあなたが先生に頼むならば / これらのルールをアップデートするよう
/ あなたの考えは拒絶されるかも知れない


(以下略)


(有料版では、解説の続きも掲載しています)
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解説の続きは、本日21時配信予定の

【高校英語】共通テストの英文解釈
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全て長文問題になった大学入学共通テスト。今まで以上に読解力が求められます。
翻訳も行っている著者が、スラッシュリーディング、全文訳とともに解説します。
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2025年01月17日

高校数学「複素数平面」まとめ

高校数学「複素数平面」まとめ

高校数学3→数学Cの「複素数平面」に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。

平面上の曲線はこちら


◆ 公式・解き方・考え方

共役な複素数
複素数の絶対値
極形式
ド・モアブルの定理
極座標と極方程式


◆ 問題

z=√3+iを極形式で表せ。
z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)とするとき、z1z2を計算せよ。
z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)とするとき、z1/z2を計算せよ。

2次方程式x2+2x+2=0の解のうち、虚部が正であるものを極形式で表せ。

{−1/√2−(1/√2)i}-8
{(1+√3i)/(1−i)}6

|z+2i|=2|z−4i|を満たす点は、どのような図形を描くか?



まだまだ追加していきます!リクエストがあればお気軽にどうぞ!


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本日配信のメルマガ。令和7年共通テスト試作問題数学2BC第7問

本日配信のメルマガでは、令和7年共通テスト試作問題数学2BC第7問の最後までを解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

令和7年共通テスト試作問題数2BCより

第7問

[1] a,b,c,d,fを実数とし、x,yの方程式

  ax^2+by^2+cx+dy+f=0

について、この方程式が表す座標平面上の図形をコンピュータソフトを用いて表示
させる。ただし、このコンピュータソフトではa,b,c,d,fの値は充分に広い
範囲で変化させられるものとする。

 a,b,c,d,fの値をa=2,b=1,c=−8,d=−4,f=0とすると
図1のように楕円が表示された。

図はこちら→http://www.a-ema.com/img/shisakum2bc7_1.png

 方程式ax^2+by^2+cx+dy+f=0のa,c,d,fの値は変えずに、
bの値だけをb≧0の範囲で変化させたとき、座標平面上には[ア]。

[ア]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} つねに楕円のみが現れ、円は現れない                |
|{1] 楕円、円が現れ、他の図形は現れない                |
|{2} 楕円、円、放物線が現れ、他の図形は現れない            |
|{3} 楕円、円、双曲線が現れ、他の図形は現れない            |
|{4} 楕円、円、双曲線、放物線が現れ、他の図形は現れない        |
|{5} 楕円、円、双曲線、放物線が現れ、また他の図形が現れることもある  |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘


[2] 太郎さんと花子さんは、複素数wを一つ決めて、w,w^2,w^3,…によって
複素数平面上に表されるそれぞれの点A1,A2,A3,…を表示させたときの様子を
コンピュータソフトを用いて観察している。ただし、点wは実軸より上にあると
する。つまり、wの偏角をargwとするとき、w≠0かつ0≦argw<πを
満たすとする。

 図1,図2,図3は、wの値を変えて点A1,A2,A3,…,A20を表示させた
ものである。ただし、観察しやすくするために、図1,図2,図3の間では、
表示範囲を変えている。

図はこちら→http://www.a-ema.com/img/shisakum2bc7_2.png

┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|太郎:wの値によって、A1からA20までの点の様子もずいぶんいろいろな  |
|   パターンがあるね。あれ、図3は点が20個ないよ。        |
|花子:試しにA30まで表示させても図3は変化しないね。同じところを何度も|
|   通っていくんだと思う。                     |
|太郎:図3に対してA1,A2,A3,…と線分で結んで点をたどってみると  |
|   図4のようになったよ。なるほど、A1に戻ってきているね。     |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

図はこちら→http://www.a-ema.com/img/shisakum2bc7_3.png

 図4をもとに、太郎さんは、A1,A2,A3,…と点をとっていって再びA1に
戻る場合に、点を順に線分で結んでできる図形について一般に考えることにした。
すなわち、A1とAnが重なるようなnがあるとき、線分A1A2,A2A3,…,
An-1Anをかいてできる図形について考える。このとき、w=w^nに着目すると
|w|=[イ]であることがわかる。また、次のことが成り立つ。

・1≦k≦n−1に対してAkAk+1=[ウ]であり、つねに一定である。
・2≦k≦n−1に対して∠Ak+1AkAk-1=[エ]であり、つねに一定である。
ただし、∠Ak+1AkAk-1は、線分AkAk+1を線分AkAk-1に重なるまで回転させた
角とする。

 花子さんはn=25のとき、すなわち、A1とA25が重なるとき、A1からA25まで
を順に線分で結んでできる図形が、正多角形になる場合を考えた。このようなwの
値は全部で[オ]個である。また、このような正多角形についてどの場合であっても、
それぞれの正多角形に内接する円上の点をzとすると、zはつねに[カ]を満たす。

[ウ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} |w+1|  {1} |w−1|  {2} |w|+1  {3} |w|−1     |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

[エ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} argw  {1} arg(−w)  {2} arg(1/w)        |
|{3} arg(−1/w)                         |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

[カ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} |z|=1  {1} |z−w|=1  {2} |z|=|w+1|        |
|{3} |z|=|w−1|  {4} |z−w|=|w+1|  {5} |z−w|=|w−1||
|{6} |z|=|w+1|/2  {7} |z|=|w−1|/2           |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘


  平面上の曲線まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/498791268.html

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■ 解説目次

 ◆1 第7問は平面上の曲線と複素数平面
 ◆2 bはyの2乗の係数

(以下略)

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■ 解説

 ◆1 第7問は平面上の曲線と複素数平面

大多数の大学受験生が受ける「共通テスト」ですが、2025年は大きめの変更が
いくつかありそうです。

数学2Bに関しては、第1問〜第3問が必答、第4問〜第7問のうち3問を選択
となるようです。

今回掲載する第7問は、平面上の曲線と複素数平面です。
以前のカリキュラムでは数学3に含まれていた分野で、現在の高校生も、文系
コースの場合は、この分野は自動的にパスとなっている学校も多いかと思います。

そういう事情がある人の場合は、第6問までが実質的に必答になってしまいます。

理系の人は、数列、ベクトル、確率統計、2次曲線・複素数平面の4つの分野全て
勉強しているはずなので、どれを使うか自分の得意・不得意、好き嫌いも含めて
よく考えて決めておくと良いですね!


詳しい変更点などは

令和7年度 大学入学共通テストQ&A
https://www.dnc.ac.jp/kyotsu/faq.html

こちらをご覧いただくと良いと思います。


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 ◆2 bはyの2乗の係数

では今回の問題です。

ax^2+by^2+cx+dy+f=0

この2次式について考えます。

この「a,b,c,d,fの値をa=2,b=1,c=−8,d=−4,f=0」

とすると、問題の図にもあるように楕円になります。

それぞれの文字に値を入れることで、様々な関数を表すことができる。
という設定です。

そして、最初の設問では、

「方程式ax^2+by^2+cx+dy+f=0のa,c,d,fの値は変えずに、
bの値だけをb≧0の範囲で変化させたとき」

この関数のグラフはどんな可能性があるかを選択肢から選びます。

bはyの2乗の係数なので、b=0のときは、普通の2次関数になってしまいます。
a=2なので、b=2のときは・・・


(以下略)


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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ラベル:数学
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高校数学「複素数平面」|z+2i|=2|z−4i|を満たす点は、どのような図形を描くか?

高校数学「複素数平面」|z+2i|=2|z−4i|を満たす点は、どのような図形を描くか?

■ 問題

複素数平面上の点をzとするとき、|z+2i|=2|z−4i|を満たす点は、どのような図形を描くか?


解答解説はこのページ下


====================== お知らせ ========================

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■ 解答解説

|z+2i|=2|z−4i|

イコールで結ばれているので、もちろん左辺と右辺が等しいことを意味しています。
絶対値の式は、プラスとマイナスの場合があって、そのままでは扱いにくいので2乗してみます。

|z+2i|2=(2|z−4i|)2

(z+2i)(z+2i)=4(z−4i)(z−4i)
(z+2i)(−2i)=4(z−4i)(+4i)
−2iz+2i+4=4(z+4iz−4i+16)
−2iz+2i+4=4z+16iz−16i+64
−3z−18iz+18i−60=0
+6iz−6i+20=0
z(+6i)−6i(+6i)+20−36=0
(z−6i)(+6i)=16
(z−6i)(z−6i)=16
よって、|z−6i|2=16

|z−6i|≧0だから、|z−6i|=4

これは、点6iからの距離が4を意味しています。
ということは、表す図形は、

「点6iを中心とする半径4の円」

ですね!


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2025年01月16日

中学数学「2次関数」y=(1/2)x2と△AOPA

中学数学「2次関数」y=(1/2)x2と△AOPA

◆問題

座標平面上に曲線y=(1/2)x2のグラフがあり、この曲線上に点Aと点Pがある。
点AとPのx座標をそれぞれ−2,pとする。
2点A,Pを通る直線lを引き、△AOPをつくる。
このとき、次の問いに答えよ。

(1) p=4のとき、直線lの式を求めよ。

(2) △AOPの面積が24になるときのpの値を求めよ。ただし、p>0とする。


↓(2)の解答解説はお知らせの下↓

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◆解答解説

(2)では新たな条件となっています。だから、(1)のp=4やy=x+4は使うことができないことに注意しましょう!
改めてわかっていることを確認してみると、

曲線の式はy=(1/2)x2
座標は、A(−2,2),P(p,(1/2)p2)

です。
この条件で、(2)では△AOP=24が与えられています。

面積がわかっているので、面積の式を作って、イコール24で方程式を解けばOKですね!

いくつか解ける方法はありますが、考え方が最も単純な、△AOPの頂点を通る長方形を作って、周りの三角形を引く。方法でやっていきます。

まず長方形は、横がp−(−2)=p+2、縦は(1/2)p2だから、
面積は(1/2)p2(p+2)=(1/2)p3+p2です。
3次式になってしまいましたが、今のところは気にせず、どんどん表します。

まわりの三角形をひとつひとつ表していきます。
左下の三角形は、底辺2,高さ2で、面積=(1/2)×2×2=2

右下の三角形は、底辺p,高さ(1/2)p2だから、
面積は(1/2)×p×(1/2)p3=(1/4)p3

直線lの上側の三角形は、底辺p+2,高さ(1/2)p2−2で、
面積は(1/2)×(p+2)×{(1/2)p2−2}=(1/4)(p+2)(p2−4)=(1/4)p3+(1/2)p2−p−2

長方形からこれらの三角形を引けば△AOPです。

 △AOP
=(1/2)p3+p2−{2+(1/4)p3+(1/4)p3+(1/2)p2−p−2}
=(1/2)p3+p2−{(1/2)p3+(1/2)p2−p}
=(1/2)p3+p2−(1/2)p3−(1/2)p2+p
=(1/2)p2+p

これが△AOPをpで表した値で、イコール24になります。
方程式を解いていきましょう!

(1/2)p2+p=24
2+2p=48
2+4p−48=0
p={−4±√(16+192)}/2
 =(−4±√208)/2
 =(−4±4√13)/2
 =−2±2√13

p>0なので、p=−2+2√13


(1)に戻る→直線lの式


中学数学2次関数まとめ


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中学数学「2次関数」y=(1/2)x2と△AOP@

中学数学「2次関数」y=(1/2)x2と△AOP@

◆問題

座標平面上に曲線y=(1/2)x2のグラフがあり、この曲線上に点Aと点Pがある。
点AとPのx座標をそれぞれ−2,pとする。
2点A,Pを通る直線lを引き、△AOPをつくる。
このとき、次の問いに答えよ。

(1) p=4のとき、直線lの式を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下↓

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◆解答解説

関数の問題では、まずはとにかく出る座標を出した方がよいです。
x座標が数字でわかっている場合はもちろん、文字で与えられている場合でも、x座標が決まればy座標もその文字で表すことができます。
というわけで、早速A,Pの座標を求めていきましょう!

点Aはx=−2だから、y=(1/2)×(−2)2=(1/2)×4=2
よって、A(−2,2)

点Aはx=pだから、y=(1/2)p2
そして、(1)では、p=4なので、代入すると、
y=(1/2)×42=(1/2)×16=8
よって、P(4,8)

2点の座標がわかれば、y=ax+bに代入して連立方程式ですね!

2=−2a+b・・・@
8=4a+b ・・・A

A−@より、6=6aだから、a=1

@にa=1を代入して、

2=−2+b
b=4

よって、求める直線の式は、y=x+4


次の問題→△AOPの面積が24になるとき


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2025年01月15日

高校数学「複素数平面」{(1+√3i)/(1−i)}6

高校数学「複素数平面」{(1+√3i)/(1−i)}6

■ 問題

次の計算をせよ。

{(1+√3i)/(1−i)}6


解答解説はこのページ下


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■ 解答解説

これもド・モアブルの定理を活用して計算します。

複素数の商

1/z2=(r1/r2){cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)}

この公式を活用する方向でやっていきます。

分子は1+√3iです。まずはこれを極形式で表します。

1+√3i=2{1/2+(√3/2)i}
    =2{cos(π/3)+isin(π/3)}

1−iも同様にやります。

1−i=√2(1/√2−i/√2)
   =√2{cos(−π/4)+isin(−π/4)}

というわけで、

(与式)=[(2/√2){cos(π/3+π/4)+isin(π/3+π/4)}]6
  =[√2{cos(7/12)π+isin(7/12)π}]6

ここで、ド・モアブルの定理(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθを使えば、

  =8(cos(7/2)π+isin(7/2)π}
  =8×(−i)
  =−8i


前の問題に戻る→{−1/√2−(1/√2)i}-8


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posted by えま at 21:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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