2025年01月02日

高校数学「積分」絶対値を含む定積分の計算@

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■ 問題

次の定積分を求めよ。

∫[1〜3]|x−2|dx


↓解答解説はお知らせの下に↓

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■ 解答解説

絶対値を含む定積分を考えるときは、場合分けが必要になる場合があります。

絶対値なので、値がマイナスなら符号を変えるという操作が必要になります。

x−2=0を解くと、x=2だから、x=2を境に式の値の符号が変わります。

x<2ならマイナス、x>2ならプラスですね。
マイナスのところは符号を変えて積分。プラスのところはそのまま積分です。
つまり、

 ∫[1〜3]|x−2|dx
=−∫[1〜2](x−2)dx+∫[2〜3]|x−2|dx

これを計算すればよい。というわけです。
やってみましょう!

=−[(1/2)x2−2x][1〜2]+[(1/2)x−2x][2〜3]
=−{(1/2)・4−2・2−(1/2−2)}+(1/2)・9−2・3−{(1/2)・4−2・2}
=−(2−4−1/2+2)+9/2−6−(2−4)
=1/2+9/2−4
=5−4
=1


この問題は単純な図形なので、他の方法もできますが、こういった単純な問題で、原則通りにやる練習をするのも良いと思います!


◆関連項目
基本的な定積分の計算
微分積分(数学2)まとめ

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posted by えま at 08:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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