■ 問題
次の定積分を求めよ。
∫[1〜3]|x−2|dx
↓解答解説はお知らせの下に↓
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■ 解答解説
絶対値を含む定積分を考えるときは、場合分けが必要になる場合があります。
絶対値なので、値がマイナスなら符号を変えるという操作が必要になります。
x−2=0を解くと、x=2だから、x=2を境に式の値の符号が変わります。
x<2ならマイナス、x>2ならプラスですね。
マイナスのところは符号を変えて積分。プラスのところはそのまま積分です。
つまり、
∫[1〜3]|x−2|dx
=−∫[1〜2](x−2)dx+∫[2〜3]|x−2|dx
これを計算すればよい。というわけです。
やってみましょう!
=−[(1/2)x2−2x][1〜2]+[(1/2)x−2x][2〜3]
=−{(1/2)・4−2・2−(1/2−2)}+(1/2)・9−2・3−{(1/2)・4−2・2}
=−(2−4−1/2+2)+9/2−6−(2−4)
=1/2+9/2−4
=5−4
=1
この問題は単純な図形なので、他の方法もできますが、こういった単純な問題で、原則通りにやる練習をするのも良いと思います!
◆関連項目
基本的な定積分の計算
微分積分(数学2)まとめ
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ラベル:数学