2025年01月05日

高校数学「積分」y=x2−4x+1とx軸で囲まれた図形の面積

高校数学「積分」y=x2−4x+1とx軸で囲まれた図形の面積

■ 問題

放物線y=x2−4x+1とx軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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■ 解答解説

x軸と関数に囲まれた図形の面積を求めるには、x軸との交点の間の区間で定積分ですね!
まずは交点を求めてみましょう!

x軸上はy=0だから、

2−4x+1=0

因数分解できないので、解の公式を使います。

x=[−(−4)±√{(−4)2−4×1×1}]/(2×1)
 ={4±√(16−4)}/2
 =(4±√12)/2
 =(4±2√3)/2
 =2±√3

だから、2−√3から2+√3の区間で定積分ですね!
・・・ですが、普通に定積分をやると計算がかなり大変になってしまいます。
2次式を積分すると3次式になり、それに2−√3を代入したり・・・となってしまいます。
もちろんこの程度ならやればできますが、もっと簡単に計算できる公式があることも知っておくと良いでしょう。
いわゆる、「1/6の公式」です。
2次関数とx軸または直線との間の面積を求めるために使うことができます。

2つの交点をα,βとすると、

S=(1/6)(β−α)3

こんなシンプルな式で面積を求めることができます。
どこかにマイナスがついたりつかなかったり、公式の表し方はいくつかありますが、「大きい方から小さい方を引いて、3乗して、1/6」と覚えておくのが実用的だと思います。

今回はα=2−√3,β=2+√3なので、

S=(1/6)(2+√3−2+√3)3
 =(1/6)(2√3)3
 =(1/6)×24√3
 =4√3


◆関連項目
y=x2+xとy=2x+6に囲まれた図形の面積
微分積分(数学2)まとめ

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中学理科「化学反応」砂糖、塩化ナトリウム、塩化アンモニウム、硫酸バリウム、デンプンの問題B

中学理科「化学反応」砂糖、塩化ナトリウム、塩化アンモニウム、硫酸バリウム、デンプンの問題B

◆問題

白色固体A,B,C,D,Eは、砂糖、塩化ナトリウム、塩化アンモニウム、硫酸バリウム、デンプンのいずれかである。@からBの実験について次の問いに答えよ。

@異なるビーカーにAからEをそれぞれ10gずつ入れた。そこに純粋な水(蒸留水)を60gずつ加えてガラス棒でよくかき混ぜたところ、A,B,Dは全て溶けたが、CとEは溶けきれずに残った。A,B,Dを溶かした水溶液に電流が流れるか調べたところ、AとDの水溶液には電流が流れたが、Bの水溶液には電流が流れなかった。

Aアルミニウム箔を巻いた燃焼さじを5つ用意し、AからEをそれぞれ異なる燃焼さじに少量ずつ載せてガスバーナーの炎で加熱し、石灰水の入った集気瓶に入れた。しばらくして燃焼さじを取り出し、集気瓶にふたをしてよく振り混ぜたところ、BとCの燃焼さじを入れた集気瓶の石灰水だけ白く濁った。

B異なる試験管に少量のAとDをそれぞれ入れ、少量の水酸化カルシウムを加えて混合し、加熱すると、Dの試験管からのみ刺激臭のある気体が発生した。

(1) A,B,C,D,Eの物質名を答えよ。

(2) AからEに関する記述の正誤をそれぞれ答えよ。

(3) @で全て溶けたあとのAの水溶液の質量パーセント濃度を求めよ。


解答・解説はこのページ下


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◆解答

問題文には、「Aを10gとり、水60gに溶かした」ということが書かれています。

だから10/60とやってしまうと間違いです!

「濃度=溶質/溶液」

だから、分母は水溶液全体の質量になります。
つまり、10+60=70gです。
というわけで、求める濃度は、

 (10/70)×100
=100/7
=14.2…

有効数字2桁とすると、14%


この問題の最初に戻る→A,B,C,D,Eの物質名


◆関連事項
中学理科化学反応まとめ


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