■ 問題
放物線y=x2−4x+1とx軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
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■ 解答解説
x軸と関数に囲まれた図形の面積を求めるには、x軸との交点の間の区間で定積分ですね!
まずは交点を求めてみましょう!
x軸上はy=0だから、
x2−4x+1=0
因数分解できないので、解の公式を使います。
x=[−(−4)±√{(−4)2−4×1×1}]/(2×1)
={4±√(16−4)}/2
=(4±√12)/2
=(4±2√3)/2
=2±√3
だから、2−√3から2+√3の区間で定積分ですね!
・・・ですが、普通に定積分をやると計算がかなり大変になってしまいます。
2次式を積分すると3次式になり、それに2−√3を代入したり・・・となってしまいます。
もちろんこの程度ならやればできますが、もっと簡単に計算できる公式があることも知っておくと良いでしょう。
いわゆる、「1/6の公式」です。
2次関数とx軸または直線との間の面積を求めるために使うことができます。
2つの交点をα,βとすると、
S=(1/6)(β−α)3
こんなシンプルな式で面積を求めることができます。
どこかにマイナスがついたりつかなかったり、公式の表し方はいくつかありますが、「大きい方から小さい方を引いて、3乗して、1/6」と覚えておくのが実用的だと思います。
今回はα=2−√3,β=2+√3なので、
S=(1/6)(2+√3−2+√3)3
=(1/6)(2√3)3
=(1/6)×24√3
=4√3
◆関連項目
y=x2+xとy=2x+6に囲まれた図形の面積
微分積分(数学2)まとめ
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ラベル:数学