2025年01月17日

高校数学「複素数平面」まとめ

高校数学「複素数平面」まとめ

高校数学3→数学Cの「複素数平面」に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。

平面上の曲線はこちら


◆ 公式・解き方・考え方

共役な複素数
複素数の絶対値
極形式
ド・モアブルの定理
極座標と極方程式


◆ 問題

z=√3+iを極形式で表せ。
z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)とするとき、z1z2を計算せよ。
z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)とするとき、z1/z2を計算せよ。

2次方程式x2+2x+2=0の解のうち、虚部が正であるものを極形式で表せ。

{−1/√2−(1/√2)i}-8
{(1+√3i)/(1−i)}6

|z+2i|=2|z−4i|を満たす点は、どのような図形を描くか?



まだまだ追加していきます!リクエストがあればお気軽にどうぞ!


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル:数学
posted by えま at 21:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

本日配信のメルマガ。令和7年共通テスト試作問題数学2BC第7問

本日配信のメルマガでは、令和7年共通テスト試作問題数学2BC第7問の最後までを解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

令和7年共通テスト試作問題数2BCより

第7問

[1] a,b,c,d,fを実数とし、x,yの方程式

  ax^2+by^2+cx+dy+f=0

について、この方程式が表す座標平面上の図形をコンピュータソフトを用いて表示
させる。ただし、このコンピュータソフトではa,b,c,d,fの値は充分に広い
範囲で変化させられるものとする。

 a,b,c,d,fの値をa=2,b=1,c=−8,d=−4,f=0とすると
図1のように楕円が表示された。

図はこちら→http://www.a-ema.com/img/shisakum2bc7_1.png

 方程式ax^2+by^2+cx+dy+f=0のa,c,d,fの値は変えずに、
bの値だけをb≧0の範囲で変化させたとき、座標平面上には[ア]。

[ア]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} つねに楕円のみが現れ、円は現れない                |
|{1] 楕円、円が現れ、他の図形は現れない                |
|{2} 楕円、円、放物線が現れ、他の図形は現れない            |
|{3} 楕円、円、双曲線が現れ、他の図形は現れない            |
|{4} 楕円、円、双曲線、放物線が現れ、他の図形は現れない        |
|{5} 楕円、円、双曲線、放物線が現れ、また他の図形が現れることもある  |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘


[2] 太郎さんと花子さんは、複素数wを一つ決めて、w,w^2,w^3,…によって
複素数平面上に表されるそれぞれの点A1,A2,A3,…を表示させたときの様子を
コンピュータソフトを用いて観察している。ただし、点wは実軸より上にあると
する。つまり、wの偏角をargwとするとき、w≠0かつ0≦argw<πを
満たすとする。

 図1,図2,図3は、wの値を変えて点A1,A2,A3,…,A20を表示させた
ものである。ただし、観察しやすくするために、図1,図2,図3の間では、
表示範囲を変えている。

図はこちら→http://www.a-ema.com/img/shisakum2bc7_2.png

┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|太郎:wの値によって、A1からA20までの点の様子もずいぶんいろいろな  |
|   パターンがあるね。あれ、図3は点が20個ないよ。        |
|花子:試しにA30まで表示させても図3は変化しないね。同じところを何度も|
|   通っていくんだと思う。                     |
|太郎:図3に対してA1,A2,A3,…と線分で結んで点をたどってみると  |
|   図4のようになったよ。なるほど、A1に戻ってきているね。     |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

図はこちら→http://www.a-ema.com/img/shisakum2bc7_3.png

 図4をもとに、太郎さんは、A1,A2,A3,…と点をとっていって再びA1に
戻る場合に、点を順に線分で結んでできる図形について一般に考えることにした。
すなわち、A1とAnが重なるようなnがあるとき、線分A1A2,A2A3,…,
An-1Anをかいてできる図形について考える。このとき、w=w^nに着目すると
|w|=[イ]であることがわかる。また、次のことが成り立つ。

・1≦k≦n−1に対してAkAk+1=[ウ]であり、つねに一定である。
・2≦k≦n−1に対して∠Ak+1AkAk-1=[エ]であり、つねに一定である。
ただし、∠Ak+1AkAk-1は、線分AkAk+1を線分AkAk-1に重なるまで回転させた
角とする。

 花子さんはn=25のとき、すなわち、A1とA25が重なるとき、A1からA25まで
を順に線分で結んでできる図形が、正多角形になる場合を考えた。このようなwの
値は全部で[オ]個である。また、このような正多角形についてどの場合であっても、
それぞれの正多角形に内接する円上の点をzとすると、zはつねに[カ]を満たす。

[ウ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} |w+1|  {1} |w−1|  {2} |w|+1  {3} |w|−1     |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

[エ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} argw  {1} arg(−w)  {2} arg(1/w)        |
|{3} arg(−1/w)                         |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

[カ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} |z|=1  {1} |z−w|=1  {2} |z|=|w+1|        |
|{3} |z|=|w−1|  {4} |z−w|=|w+1|  {5} |z−w|=|w−1||
|{6} |z|=|w+1|/2  {7} |z|=|w−1|/2           |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘


  平面上の曲線まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/498791268.html

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
★★★★★★★「AE個別学習室(えまじゅく)」生徒募集!★★★★★★★★
★                                 ★
★     茨城県水戸市、常陸太田市の個別指導教室         ★
★ 「AE個別学習室(えまじゅく)」では、生徒募集をしています。   ★
★ 対象は小学生・中学生・高校生・浪人生。社会人も歓迎します!   ★
★ オンライン授業も好評です!全国の生徒さんに対応可能です。    ★
★                                 ★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

 えまじゅくでは、経験豊富なプロ講師のマンツーマン授業が受けられます。
 授業料が最大で40%引きになる、2人〜4人の同時指導も好評です!
 今年も何人もの生徒さんが、第一志望(以上)の結果を出してくれました。

 興味をお持ちの方は、まずは mm@a-ema.com までお問い合わせください。

 家庭教師・塾のサイトと連絡先はここ → http://www.a-ema.com/

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

■ 解説目次

 ◆1 第7問は平面上の曲線と複素数平面
 ◆2 bはyの2乗の係数

(以下略)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
=========================== お知らせ2 ===============================

ブログにて様々な問題を解説しています!

■ 共通テト・センター数学を理由の理由まで解説するブログ
   http://centermath.seesaa.net/

■ 共通テスト・センター英語をひとつひとつ解説するブログ
   http://a-emaenglish.seesaa.net/

■ 何でも解説するブログ(塾&家庭教師ブログ)
   http://a-ema.seesaa.net/


紙の書籍、電子書籍もご利用ください。
中学・高校の英語・数学の書籍を出版しています。

★江間淳(えまあつし)の書籍一覧 → http://amzn.to/2lnKZdS


------------------------------------------------------------------------

■ 解説

 ◆1 第7問は平面上の曲線と複素数平面

大多数の大学受験生が受ける「共通テスト」ですが、2025年は大きめの変更が
いくつかありそうです。

数学2Bに関しては、第1問〜第3問が必答、第4問〜第7問のうち3問を選択
となるようです。

今回掲載する第7問は、平面上の曲線と複素数平面です。
以前のカリキュラムでは数学3に含まれていた分野で、現在の高校生も、文系
コースの場合は、この分野は自動的にパスとなっている学校も多いかと思います。

そういう事情がある人の場合は、第6問までが実質的に必答になってしまいます。

理系の人は、数列、ベクトル、確率統計、2次曲線・複素数平面の4つの分野全て
勉強しているはずなので、どれを使うか自分の得意・不得意、好き嫌いも含めて
よく考えて決めておくと良いですね!


詳しい変更点などは

令和7年度 大学入学共通テストQ&A
https://www.dnc.ac.jp/kyotsu/faq.html

こちらをご覧いただくと良いと思います。


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 ◆2 bはyの2乗の係数

では今回の問題です。

ax^2+by^2+cx+dy+f=0

この2次式について考えます。

この「a,b,c,d,fの値をa=2,b=1,c=−8,d=−4,f=0」

とすると、問題の図にもあるように楕円になります。

それぞれの文字に値を入れることで、様々な関数を表すことができる。
という設定です。

そして、最初の設問では、

「方程式ax^2+by^2+cx+dy+f=0のa,c,d,fの値は変えずに、
bの値だけをb≧0の範囲で変化させたとき」

この関数のグラフはどんな可能性があるかを選択肢から選びます。

bはyの2乗の係数なので、b=0のときは、普通の2次関数になってしまいます。
a=2なので、b=2のときは・・・


(以下略)


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html

数学1A2B本試験の全問題を詳細に解説。\550/月。初月無料。火・金配信。

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
          発行者 江間淳(EMA Atsushi)
 mm@a-ema.com http://www.a-ema.com/k/ https://twitter.com/A_EMA_RYU
 youtube EMA Atsushiチャンネル:https://www.youtube.com/@emajuku
------------------------------------------------------------------------
                        無断転載・引用を禁じます。


=========================== お知らせ3 ===============================

5万人以上の利用実績がある勉強アプリ。英語・数学・化学など。
★印のものはGooglePlayでも公開中です。「江間淳」で検索してみてくださいね!

★【高校数学】読むだけでわかる!数学1Aの考え方
 http://pmana.jp/pc/pm586.html

【高校数学】読むだけでわかる!数学2Bの考え方
 http://pmana.jp/pc/pm743.html

【高校数学】読むだけでわかる!数学3の考え方
 http://pmana.jp/pc/pm730.html

★【高校英語】センター試験徹底トレーニング
 http://pmana.jp/pc/pm588.html

★【高校化学】読むだけでわかる!理論・無機・有機化学の考え方
 http://pmana.jp/pc/pm603.html

【高校物理】読むだけでわかる!物理基礎・物理の考え方
 http://pmana.jp/pc/pm729.html

【中学5科】高校入試の重要ポイント
 http://pmana.jp/pc/pm707.html
ラベル:数学
posted by えま at 16:00| Comment(0) | TrackBack(0) | メルマガ | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「複素数平面」|z+2i|=2|z−4i|を満たす点は、どのような図形を描くか?

高校数学「複素数平面」|z+2i|=2|z−4i|を満たす点は、どのような図形を描くか?

■ 問題

複素数平面上の点をzとするとき、|z+2i|=2|z−4i|を満たす点は、どのような図形を描くか?


解答解説はこのページ下


====================== お知らせ ========================

★★★★★★★「AE個別学習室(えまじゅく)」生徒募集!★★★★★★★★★
★                                  ★
★     茨城県水戸市、常陸太田市の個別指導教室          ★
★ 「AE個別学習室(えまじゅく)」では、生徒募集をしています。    ★
★ 対象は小学生・中学生・高校生・浪人生。社会人も歓迎します!    ★
★ オンライン授業も好評です!全国の生徒さんに対応可能です。     ★
★                                  ★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

 えまじゅくでは、経験豊富なプロ講師のマンツーマン授業が受けられます。
 授業料が最大で40%引きになる、3人までの同時指導も好評です!
 オンラインでも複数人同時指導対応しています。
 今年も何人もの生徒さんが、第一志望(以上)の結果を出してくれました。

 興味をお持ちの方は、まずは こちらまでお問い合わせください。

 家庭教師・塾のサイトと連絡先はここ → http://www.a-ema.com/

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

■ 解答解説

|z+2i|=2|z−4i|

イコールで結ばれているので、もちろん左辺と右辺が等しいことを意味しています。
絶対値の式は、プラスとマイナスの場合があって、そのままでは扱いにくいので2乗してみます。

|z+2i|2=(2|z−4i|)2

(z+2i)(z+2i)=4(z−4i)(z−4i)
(z+2i)(−2i)=4(z−4i)(+4i)
−2iz+2i+4=4(z+4iz−4i+16)
−2iz+2i+4=4z+16iz−16i+64
−3z−18iz+18i−60=0
+6iz−6i+20=0
z(+6i)−6i(+6i)+20−36=0
(z−6i)(+6i)=16
(z−6i)(z−6i)=16
よって、|z−6i|2=16

|z−6i|≧0だから、|z−6i|=4

これは、点6iからの距離が4を意味しています。
ということは、表す図形は、

「点6iを中心とする半径4の円」

ですね!


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル:数学
posted by えま at 08:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
こんなヤツです
名前:江間淳
年齢:41
職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
ウェブサイトURL:http://www.a-ema.com/
メールアドレス:j@a-ema.com
一言:アプリ、メルマガ、電子書籍提供中です。アマゾンやGooglePlayで「江間淳」で検索!
江間淳の書籍一覧 → http://amzn.to/2m9LTvN