2025年01月19日

高校数学「指数・対数」指数のちょっとだけ難しい計算@

高校数学「指数・対数」指数のちょっとだけ難しい計算@

■ 問題

次の計算をせよ。

(1) 25/3−22/3

(2) (31/3+3-2/3)3


(1)の解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

(1) 25/3−22/3

指数・対数の計算では、通常の文字式と同様に、全く同じものは足したり引いたりすることができます。
「2AB+AB=3AB」みたいなかんじですね。
逆に、全く同じでないならば足したり引いたりすることはできません。

今回の問題では、25/3と22/3は、底の2は同じですが、指数の部分は違うので、そのままでは加減できません。
だからまずは、22/3でくくります。

=22/3(23/3−1)

カッコを外したらもとに戻るようにする。と考えると、カッコの中身を正しく作りやすいはずです。

=22/3(2−1)
=22/3

特に指示がなければこれで終わりでOKです!
分数の指数は、累乗根の形に直すことができます。
累乗根の形に直したければ、

3√22 ←2の2乗の3乗根

このようになります。


次の問題→(31/3+3-2/3)3


◆関連項目
指数・対数まとめ


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高校数学「指数・対数」0.2,√5,3√0.04,4√0.008を小さい順に

高校数学「指数・対数」0.2,√5,3√0.04,4√0.008を小さい順に

■ 問題

次の4つの数を小さい順に並べよ。

0.2,√5,3√0.04,4√0.008


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

そのままでは大小を比較しにくいので、4つの数を同じパターンで表すことを考えます。
いろいろな方法がありますが、基本的には、底をそろえて指数で表すのがやりやすいと思います。

0.2,√5,3√0.04,4√0.008

これらの4つの数なので、0.2を使って全て表す。という方針でいきます。


0.2=0.21


5は0.2でどう表すかというと、分数にすればOKです。
5=5/1=1/0.2=0.2-1だから、√5=0.2-1/2


あとの2つは累乗根なので、指数と√の関係を普通に使って表します。

3√0.04=3√(0.2)2=0.22/3


4√0.008=4√(0.2)3=0.23/4


全て0.2の累乗の形で表したので、大小を比較しやすくなりました。
あとは指数の大小の順に・・・といきたいところですが、底が0.2で1より小さいので、大小関係は逆になります。
つまり、指数の値が小さい数が大きく、指数の値が大きい数は小さいことになります。

1>3/4>2/3>−1/2だから、

0.2<4√0.008<3√0.04<√5

これで完成です!


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指数・対数まとめ


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高校数学「微分積分」「接線」y=6x2−3xとy=(3/2)x2+aが共有点を…

高校数学「微分積分」「接線」y=6x2−3xとy=(3/2)x2+aが共有点を…

■ 問題

y=6x2−3xとy=(3/2)x2+aが共有点を持ち、さらにその点においてそれぞれの曲線の接線が等しくなるようなaの値と接線の方程式を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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■ 解答解説

y=6x2−3xとy=(3/2)x2+aが共有点を持ち、さらにその点においてそれぞれの曲線の接線が等しくなるようなaの値を全て求めよ。


条件に従って一つ一つわかることを表していきましょう!

共有点における接線が等しくなるので、まずはそれぞれ微分してみます。

y'=12x−3
y'=3x

ですね。
接線が等しいということはもちろん傾きも等しいです。
つまり、y'も等しいはずです。だから、

 12x−3=3x
12x−3x=3
    9x=3
     x=1/3

というわけで、接点のx座標は1/3であることがわかりました。
このときy'は、y'=3・1/3=1だから、接線の傾きは1です。

さらに、y=6x2−3xにx=1/3を代入すると、

y=6・1/9−3・1/3
 =2/3−1
 =1/3

つまり、接点の座標は(1/3,1/3)です。

これで接線の方程式がわかります。直線の式の公式に傾きと座標を代入すると、

y−1/3=1(x−1/3)
    y=x−1/3+1/3
    y=x

接点の座標をy=(3/2)x2+aに代入すると、

1/3=(3/2)・1/9+a
1/3=1/6+a
  a=1/3−1/6
  a=1/6

というわけで、接線の方程式はy=x,aの値は1/6です。


◆関連項目
曲線y=x3+3x2の接線のうち(0,a)を通るもの
微分積分(数学2)まとめ

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