高校数学「数列」第ｎ群の数の和 １｜２，３｜４，５，６，７｜８，…

高校数学「数列」第ｎ群の数の和　１｜２，３｜４，５，６，７｜８，…


■　問題

自然数の列を、次のような群に分ける。ただし、第ｎ群には２^n-1個の数が入るものとする。

１｜２，３｜４，５，６，７｜８，９，１０，１１，１２，１３，１４，１５｜１６，…

(1) 第ｎ群の最初の数をｎの式で表せ。

(2) 第ｎ群に入る全ての数の和Ｓを求めよ。


(2)の解答解説はこのページ下


↓この書籍も参考にしてみてください↓
１０秒でわかる！高校数学２Ｂ数列の考え方


■　解答解説

(1)より、第ｎ群の最初の数は、２^n-1であることがわかりました。

もとの数列は自然数の列だから、第ｎ群の数は、初項２^n-1、公差１の等差数列です。

この数列の和が、この問題のＳになります。
第ｎ群には、「２^n-1個の数が入る」ので、項数ｎ＝２^n-1も代入します。

普通に等差数列の公式に代入して計算していきましょう！

Ｓ＝(２^n-1／２){２・２^n-1＋(２^n-1−１)・１}
　＝２^n-2(２・２^n-1＋２^n-1−１)　・・・�@
　＝２^n-2(３・２^n-1−１)　・・・�A

数列の単元は特に、数式の解答は因数分解した形で答えるのが標準的なので、これで完成です！

計算がわかりにくいかも知れないので、少し補足説明をします。

�@のところは、２^n-1／２を２^n-2にしました。
２^n-1は、「２をｎ−１回掛けたもの」で、それを÷２しているので、２をかける回数が１回減ることになります。
つまり、「ｎ−２回掛ける」ので、２^n-2です。

�Aのところは、２・２^n-1＋２^n-1を３・２^n-1にしました。
２・２^n-1は、「２^n-1が２個」を意味しています。
そこにさらに、２^n-1を足したので、合計３個です。
だから、２^n-1が３個で、３・２^n-1です。


(1)に戻る→(1) 第ｎ群の最初の数をｎの式で表せ。


◆関連項目
１｜２，３｜４，５，６｜…の場合
群数列、等比数列
数列まとめ

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高校数学「数列」第ｎ群の最初の数 １｜２，３｜４，５，６，７｜８，…

高校数学「数列」第ｎ群の最初の数　１｜２，３｜４，５，６，７｜８，…


■　問題

自然数の列を、次のような群に分ける。ただし、第ｎ群には２^n-1個の数が入るものとする。

１｜２，３｜４，５，６，７｜８，９，１０，１１，１２，１３，１４，１５｜１６，…

(1) 第ｎ群の最初の数をｎの式で表せ。


解答解説はこのページ下


↓この書籍も参考にしてみてください↓
１０秒でわかる！高校数学２Ｂ数列の考え方


■　解答解説

第ｎ群の最初の数を並べてみると、

１，２，４，８，１６，…

このようになっています。
これはつまり、初項１，公比２の等比数列ですね。
だから、ａ_n＝ａｒ^n-1に代入します。

ａ_n＝１・２^n-1
　＝２^n-1

というわけで、第ｎ群の最初の数は、２^n-1です。


次の問題→第ｎ群の数の和



◆関連項目
１｜２，３｜４，５，６｜…の場合
群数列、等比数列
数列まとめ

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本日配信のメルマガ。2025年共通テスト英語第２問 本文和訳

本日配信のメルマガでは、2025年大学入学共通テスト英語第２問の本文の和訳を掲載します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■　問題

2025年大学入学共通テストより

第２問

Your teacher asks you to write a report about the future of transportation.
To prepare, you read a blog written by a British author about the topic.

┌────────────────────────────────────┐
｜　　　　　　　　　　　　　　[Flying Vehicles]　　　　　　　　　　　　　 ｜
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜　10 December 2024　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜　Jonah Markowski　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
｜　Bristol, UK　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜Yesterday, I attended a forum in northern Japan called Flying Vehicles: ｜
｜[Today and Tomorrow]. Modern transportation problems and solutions were ｜
｜discussed by three guest speakers.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜All the speakers agreed on three points. First, flying vehicles should ｜
｜be electrically powered in general. Air pollution can be reduced by 　　｜
｜increasing the use of zero-emission technologies. Second, emergency 　　｜
｜services would be improved. Flying ambulances would be faster in large ｜
｜cities with heavy traffic. Also, they would be better for servicing 　　｜
｜small towns far from hospitals. Finally, from a safety point of view, 　｜
｜they said that flying technology would need to be well tested and 　　　｜
｜controlled to avoid accidents in the air.　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜At the end of the forum, the speakers discussed flying taxis. According ｜
｜to one of the speakers, recent reports show that some countries are 　　｜
｜already developing this technology. A few of them are testing flying 　 ｜
｜taxi services in the middle of their major cities. Then, someone in the ｜
｜audience asked if flying taxis would soon be available around the world.｜
｜Two of the speakers answered, "Yes," but they disagreed about the 　　　｜
｜timing. One of them said, "In 5 years," and the other said, "In 15 　　 ｜
｜years." The third speaker answered, "No, because the operating costs of ｜
｜flying taxis are too high." I look forward to seeing which guest 　　　 ｜
｜speaker's prediction turns out to be correct.　　　　　　　　　　　　　 ｜
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜Next week's blog is about self-driving cars. It's going to be a 　　　　｜
｜fantastic post!　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
└────────────────────────────────────┘


つづく


※一部図や記号は省略または類似のものに変更、マーク部分の□や下線部は[ ]、
マル１は{1}で表記しています。

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■　スラッシュリーディング

Your teacher asks you / to write a report
/ about the future of transportation.
あなたの先生はあなたに頼む / レポートを書くように
/ 輸送の未来について

To prepare, / you read a blog / written by a British author
/ about the topic.
準備するため / あなたはブログを読む / あるイギリス人の著者によって書かれた
/ その話題について

┌────────────────────────────────────┐
[Flying Vehicles]　[空飛ぶ自動車]

　10 December 2024
　Jonah Markowski
　Bristol, UK

Yesterday, / I attended a forum / in northern Japan
/ called / Flying Vehicles: [Today and Tomorrow].


(以下略)


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高校数学「数列」「漸化式」ａnとｂnの置き換えについて

高校数学「数列」「漸化式」ａ_nとｂ_nの置き換えについて


この記事では、ａ_n+1＝３ａ_n−２，ａ₁＝２で表される数列の一般項を求めよ。この問題の、ａ_nをｂ_nに置き換える部分にフォーカスして解説します。


等差と等比の複合のタイプの漸化式の問題では、与えられた式を

ａ_n+1−α＝ｐ(ａ_n−α)

この形にして解くのが標準的です。

こうすれば、ａ_n−α＝ｂ_nとおいて、ｂ_nは等比数列になるので、一般項が表せる。というわけです。


この形にした結果、与式はａ_n+1−１＝３(ａ_n−１)と変形できたとします。

ここで括弧の中身つまり、ａ_n−１＝ｂ_nとおくと、ｂ_nだけの式が作れるし、初項も表せるので最終的には一般項が表せる。という方針です。

ｂ_n＝ａ_n−１とおけば、ｎのところにいろいろな値を入れて、いろいろな項を表すことができます。

例えば、ｎ＝１ならば、ｂ₁＝ａ₁−１ですね。
これでｂ₁すなわち初項がわかります。

この他にも、
ｎ＝２なら、ｂ₂＝ａ₂−１
ｎ＝３なら、ｂ₃＝ａ₃−１
ｎ＝４なら、ｂ₄＝ａ₄−１
　　・
　　・
　　・

といったかんじで、ｎにあらゆる自然数を入れることができます。
ということは、同様にして、自然数を表す文字を入れることもできます。

ｎ＝ｎ＋１ならば、ｂ_n+1＝ａ_n+1−１

ですね。
これは先ほどのａ_n+1−１＝３(ａ_n−１)の左辺なので、当然、左辺はｂ_n+1に置き換えることができます。
ａ_n+1−１とｂ_n+1が等しいから、−１まで含めて置き換えられるというわけです。

両辺をそれぞれｂ_nで置き換えれば、

ｂ_n+1＝３ｂ_n

となります。


もとの問題に戻る


◆関連項目
漸化式の基本的な方法
数列まとめ

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９９９

中学数学「確率」サイコロの出目の積が１６の約数になる

中学数学「確率」サイコロの出目の積が１６の約数になる

◆問題

１から６までの目のある１個のさいころを２回投げる。１回目の出目をａ，２回目の出目をｂとする。
このとき、ａｂの値が１６の約数となる確率を求めよ。


↓解答解説はこのページ下↓


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◆解答解説

中学の数学では確率は、サイコロ２個程度の場合の数になることが多いです。

サイコロ２個の場合は６マス×６マスの表を描いて該当する枠に○を入れる。という方法が確実だと思います。

	１	２	３	４	５	６
１
２
３
４
５
６

こんなふうにして、それぞれの枠が条件に合うかどうかをチェックして、該当すれば○を入れていきます。
今回はかけ算の値について考えるので、それぞれの枠にかけ算の結果を書き込んでみます。

	１	２	３	４	５	６
１	１	２	３	４	５	６
２	２	４	６	８	１０	１２
３	３	６	９	１２	１５	１８
４	４	８	１２	１６	２０	２４
５	５	１０	１５	２０	２５	３０
６	６	１２	１８	２４	３０	３６

さらに、１６の約数１，２，４，８，１６のところを○で囲んでみると、

	１	２	３	４	５	６
１	�@	�A	３	�C	５	６
２	�A	�C	６	�G	１０	１２
３	３	６	９	１２	１５	１８
４	�C	�G	１２	�O	２０	２４
５	５	１０	１５	２０	２５	３０
６	６	１２	１８	２４	３０	３６

○がついたのは９個ですね。

というわけで、求める確率は９／３６＝１／４


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