中学数学「２次方程式」針金を折り曲げて長方形を作る�A

中学数学「２次方程式」針金を折り曲げて長方形を作る�A


◆問題　

長さが１８ｃｍの針金を折り曲げて長方形を作ると、１８ｃｍ²になった。この長方形の対角線の長さを求めよ。



「そもそも基本的な２次方程式の解き方がわからないよ！」という人は、まずは「基本的な解き方」や「２次方程式まとめ」を見てください。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

まずは、�@と同様に考えると、

周の長さが１８ｃｍだから、縦２本＋横２本＝１８ｃｍです。
つまり、縦と横１本ずつの合計は９ｃｍですね。

ならば、縦をｘｃｍとすると、横は(９−ｘ)ｃｍになります。

今回の問題では、面積が１８ｃｍ²だから、「縦×横＝１８」で式を作ります。

ｘ(９−ｘ)＝１８
９ｘ−ｘ²＝１８
−ｘ²＋９ｘ−１８＝０
ｘ²−９ｘ＋１８＝０
(ｘ−３)(ｘ−６)＝０
ｘ＝３，６

つまり、隣り合う２辺の長さが３ｃｍと６ｃｍです。
対角線は、これらの２辺を使ってできる直角三角形の斜辺だから、
対角線の長さをｌとすると、

ｌ²＝３²＋６²
ｌ²＝９＋３６
ｌ²＝４５
ｌ＝√４５
ｌ＝３√５

というわけで、求める対角線の長さは３√５ｃｍです！


◆関連項目
２次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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中学数学「２次方程式」針金を折り曲げて長方形を作る�@

中学数学「２次方程式」針金を折り曲げて長方形を作る�@


◆問題　

長さが２４ｃｍの針金を折り曲げて長方形を作ると、対角線の長さが４√５ｃｍになった。このとき、この長方形の辺の長さを求めよ。



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◆解答解説

２４ｃｍの針金を折り曲げて長方形を作るなら、その長方形の周の長さが２４ｃｍですね。

ということは、縦×２＋横×２で２４ｃｍになります。
一周して２４ｃｍだから、縦が２本、横が２本ですね。
つまり、縦１本と横１本の合計は、その半分の１２ｃｍになります。

ならば、縦をｘｃｍとすると、横は(１２−ｘ)ｃｍになります。

今回の問題では、対角線の長さが４√５だから、三平方の定理の式を立てます。

ｘ²＋(１２−ｘ)²＝(４√５)²

ですね！
長方形は４つの角が直角だから、対角線を引くと直角三角形になります。
だから、三平方の定理が成り立つ。というわけです。
あとは計算です！

ｘ²＋１４４−２４ｘ＋ｘ²＝８０
２ｘ²−２４ｘ＋６４＝０
ｘ²−１２ｘ＋３２＝０
(ｘ−４)(ｘ−８)＝０

よって、長方形の辺の長さは４ｃｍと８ｃｍになります。


◆関連項目
２次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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高校数学「確率統計」確率密度関数ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１) �B

高校数学「確率統計」確率密度関数ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１)　�B

◆問題

確率変数Ｘの確率密度関数をｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１)　(０≦ｘ≦１)とする。次の問いに答えよ。

(1) ａの値を求めよ。

(2) Ｘの期待値を求めよ。

(3) Ｘの分散を求めよ。


↓(3)の解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

(1)で、ａ＝−６であることがわかりました。
ということは、式はｆ(ｘ)＝−６ｘ(ｘ−１)ですね。
つまり、ｆ(ｘ)＝−６(ｘ²−ｘ)です。

そして(2)で、Ｅ(Ｘ)＝１／２であることがわかりました。

このときのＸの分散を求めます。

Ｖ(Ｘ)＝∫[a〜b](ｘ−ｍ)²ｆ(ｘ)ｄｘ

だから、

Ｖ(Ｘ)＝−６∫[0〜1]{(ｘ−１／２)²(ｘ²−ｘ)}ｄｘ
　　＝−６∫[0〜1](ｘ²−ｘ＋１／４)(ｘ²−ｘ)ｄｘ
　　＝−６∫[0〜1]{ｘ⁴−２ｘ³＋ｘ²＋(１／４)ｘ²−(１／４)ｘ}ｄｘ
　　＝−６∫[0〜1]{ｘ⁴−２ｘ³＋(５／４)ｘ²−(１／４)ｘ}ｄｘ
　　＝−６[(１／５)ｘ⁵−(２／４)ｘ⁴＋(５／１２)ｘ³−(１／８)ｘ²][0〜1]
　　＝−６(１／５−１／２＋５／１２−１／８)
　　＝−６×(２４／１２０−６０／１２０＋５０／１２−１５／１２０)
　　＝−６×(−１／１２０)
　　＝１／２０


この問題の最初に戻る→ａの値


◆確率統計まとめ


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高校数学「確率統計」確率密度関数ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１) �A

高校数学「確率統計」確率密度関数ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１)　�A

◆問題

確率変数Ｘの確率密度関数をｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１)　(０≦ｘ≦１)とする。次の問いに答えよ。

(1) ａの値を求めよ。

(2) Ｘの期待値を求めよ。


↓(2)の解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

(1)で、ａ＝−６であることがわかりました。
ということは、式はｆ(ｘ)＝−６ｘ(ｘ−１)ですね。
つまり、ｆ(ｘ)＝−６(ｘ²−ｘ)です。

このときのＸの期待値を求めます。

Ｅ(Ｘ)＝∫[a〜b]ｘｆ(ｘ)ｄｘ

だから、

Ｅ(Ｘ)＝−６∫[0〜1]{ｘ(ｘ²−ｘ)}ｄｘ
　　＝−６∫[0〜1](ｘ³−ｘ²)ｄｘ
　　＝−６[(１／４)ｘ⁴−(１／３)ｘ³][0〜1]
　　＝−６(１／４−１／３)
　　＝−６×(−１／１２)
　　＝１／２


次の問題→Ｘの分散


◆確率統計まとめ


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高校数学「確率統計」確率密度関数ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１) �@

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◆問題

確率変数Ｘの確率密度関数をｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１)　(０≦ｘ≦１)とする。次の問いに答えよ。

(1) ａの値を求めよ。


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◆解答解説

確率密度関数とは、確率変数Ｘが連続的な値をとり、その値が関数ｆ(ｘ)とｘ軸との間の面積で表されるときの、ｆ(ｘ)のことです。

確率だから、定義域内の確率の総和は１になります。
つまり、グラフとｘ軸との間の面積が１だから、定積分の値が１になる。と言ってもよいです。

ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１)
　　＝ａ(ｘ²−ｘ)

　∫[0〜1]{ａ(ｘ²−ｘ)}ｄｘ
＝ａ[(１／３)ｘ³−(１／２)ｘ²][0〜1]
＝ａ(１／３−１／２}
＝−ａ／６

この定積分の値が１になるので、
−ａ／６＝１
　　　ａ＝−６


次の問題→Ｘの期待値


◆確率統計まとめ


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