高校数学「複素数平面」等式|ｚ−２|＝|ｚ−ｉ|を満たす点ｚの表す図形

高校数学「複素数平面」等式|ｚ−２|＝|ｚ−ｉ|を満たす点ｚの表す図形

■問題

等式|ｚ−２|＝|ｚ−ｉ|を満たす点ｚは、どのような図形を表すか？

---

この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ

---

■解説

|ｚ−２|＝|ｚ−ｉ|

Ａ(２)，Ｂ(ｉ)とすると、
この式のｚは、２点Ａ，Ｂからの距離が等しい点を表しています。

Ａ，Ｂからの距離が等しい点の集合は何か？といえば、

線分ＡＢの垂直二等分線ですね！

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高校数学「複素数平面」３点Ａ，Ｂ，Ｃの位置関係�A

高校数学「複素数平面」３点Ａ，Ｂ，Ｃの位置関係�A

■問題

α＝１＋ｉ，β＝３＋２ｉ，δ＝２−ｉの表す点をそれぞれＡ，Ｂ，Ｄとするとき、直線ＡＢとＡＤはどのような位置関係にあるか求めよ。

---

この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ

---

■解説

３点の位置関係を調べるならば、それらを結ぶ直線によってできる角を調べるのが有力な方法です。
つまり、
δ−αβ−α
を調べればよい。というわけです。
やってみましょう！

　δ−αβ−α
＝２−ｉ−(１＋ｉ)３＋２ｉ−(１＋ｉ)
＝１−２ｉ２＋ｉ
＝−ｉ(２＋ｉ)２＋ｉ
＝−ｉ

計算した結果、この複素数は純虚数になってしまいました。
ということは、ＡＢとＡＤのなす角は９０°であり、「ＡＢとＡＤは垂直である」ということができます。


前の問題→実数の場合

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本日配信のメルマガ。2025年共通テスト英語第８問 問２まで

本日配信のメルマガでは、2025年大学入学共通テスト英語第８問の問２までの解説を掲載します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■　問題

2025年大学入学共通テストより

第８問

You are working on an essay about space exploration. You will follow the
steps below:
Step 1: Read a range of opinions gathered from the Internet about exploring
outer space.
Step 2: Take a position on space exploration.
Step 3: Create an outline of your essay using additional sources.

＞[Step 1] Read a range of opinions
┌────────────────────────────────────┐
｜[Apu (university professor)]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜The exploration of space requires a lot of research time and money. All ｜
｜this research has led to many new inventions and boosted humanity's 　　｜
｜scientific and technical knowledge. While laser eye surgery, solar 　　 ｜
｜cells, freeze-dried food, and wireless headsets are just a few examples ｜
｜that have come out of space research, perhaps the invention that has 　 ｜
｜proven the most useful in modern life is the computer mouse. This was 　｜
｜developed in the 1960s on a NASA research project.　　　　　　　　　　　｜
├────────────────────────────────────┤
｜[Christine (company CEO)]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
｜Much space exploration relies on international cooperation, a good 　　 ｜
｜example being the International Space Station, launched in 1998. The 　 ｜
｜main reasons for this cooperation are to share the huge costs involved ｜
｜and to improve national prestige. More recently, private companies have ｜
｜begun exploring space, though mostly for commercial reasons. In the 　　｜
｜future, it is possible that countries or corporations will try to 　　　｜
｜colonize parts of the moon or Mars. While financial cooperation and 　　｜
｜raising prestige are welcome, improper commercial or military use of 　 ｜
｜outer space is not.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
├────────────────────────────────────┤
｜[Meilin (journalist)]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
｜As the famous physicist, Stephen Hawking, once said, it is probably 　　｜
｜dangerous to broadcast into deep space evidence of the existence of 　　｜
｜humans here on Earth. If our nearest intelligent aliens are anything 　 ｜
｜like us, then they will seek to conquer Earth and humanity. For me, this｜
｜is the greatest threat associated with space exploration. The deeper 　 ｜
｜into space we travel, the greater the likelihood Earth will be 　　　　 ｜
｜discovered by an aggressive alien civilization.　　　　　　　　　　　　 ｜
└────────────────────────────────────┘

┌────────────────────────────────────┐
｜[Naomi (lawyer)]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜Historically, jobs working at sea were likely the least safe, with the ｜
｜highest rates of death in the workplace. In modern times, space is no 　｜
｜different, if not worse. Once we are just 10,000 meters or so above the ｜
｜surface of the Earth, there is little oxygen and the temperature is too ｜
｜low for human survival. Since the first person went into space in 1961, ｜
｜19 of 652 astronauts have died on the job: a fatality rate of 2.9%. No ｜
｜other business or industry would tolerate such a high level of danger. ｜
｜Why should the space industry?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
├────────────────────────────────────┤
｜Victor (financial analyst)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜Space exploration has contributed hugely to economic growth. In the USA,｜
｜NASA provided work for nearly 340,000 people in 2021, mostly at above-　｜
｜average salaries, and it is estimated that it has contributed $7.7 　　 ｜
｜billion in taxes to the US government. Space is also being explored by ｜
｜other countries, such as China, India, Japan, and Russia. In the future,｜
｜further economic growth will be ensured by more private firms entering ｜
｜the space race and by the rise of space tourism, space mining, space 　 ｜
｜colonization, and space militarization.　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
└────────────────────────────────────┘

問１ Which of the following best expresses Meilin's opinion? [ 38 ]
{1} Caution is critical.
{2} Invention is invaluable.
{3} Science is superior.
{4} Trust is treasure.

問２ Both Christine and Victor mention that space exploration [ 39 ].
{1} has economic impacts and provides opportunities for private
corporations to make money
{2} is gaining popularity and that salaries for people working in the
industry are above average
{3} is politically challenging as it requires coordination among countries
with different policies
{4} needs global cooperation, especially to operate the International Space
Station successfully


つづく


※一部図や記号は省略または類似のものに変更、文章のレイアウトも一部変更、
マーク部分の□や下線部は[ ]、マル１は{1}で表記しています。

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■　問いの内容と解説

問１ Which of the following best expresses / Meilin's opinion? [ 38 ]
次のうちどれが最もよく表している？ / Meilinの意見を

{1} Caution is critical.　注意は重要だ。
{2} Invention is invaluable.　発明は価値がない。
{3} Science is superior.　科学は優れている。
{4} Trust is treasure.　信頼は宝だ。


(以下略)


(有料版では、解説の続きも掲載しています)
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高校数学「複素数平面」３点Ａ，Ｂ，Ｃの位置関係�@

高校数学「複素数平面」３点Ａ，Ｂ，Ｃの位置関係�@

■問題

α＝１＋ｉ，β＝３＋２ｉ，γ＝５＋３ｉの表す点をそれぞれＡ，Ｂ，Ｃとするとき、３点Ａ，Ｂ，Ｃはどのような位置関係にあるか求めよ。

---

この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ

---

■解説

３点の位置関係を調べるならば、それらを結ぶ直線によってできる角を調べるのが有力な方法です。
つまり、
γ−αβ−α
を調べればよい。というわけです。
やってみましょう！

　γ−αβ−α
＝５＋３ｉ−(１＋ｉ)３＋２ｉ−(１＋ｉ)
＝４＋２ｉ２＋ｉ
＝２(２＋ｉ)２＋ｉ
＝２

計算した結果、この複素数は実数になってしまいました。
ということは、ＡＢとＡＣのなす角は０°であり、「３点Ａ，Ｂ，Ｃは一直線上にある」ということができます。


次の問題→純虚数の場合

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高校英語「時制」Sleep ( be / is / was / being ) essential for…

高校英語「時制」Sleep ( be / is / was / being ) essential for…

◆問題
最も適切なものを選択肢から選んで答えてください。

Sleep ( be / is / was / being ) essential for animals' physical and mental health, and for their bodies to function efficiently.


時制が明確にわかる語句は含まれていないので、意味を考えて推測します。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

Sleep ( be / is / was / being ) essential for animals' physical and mental health, and for their bodies to function efficiently.
「睡眠は、動物の身体的、精神的な健康のため、そしてその体が効果的に機能するために不可欠です」

この文にはnowとか、〜 agoとか、last〜のような、時制が分かる語句が含まれていないし、前後の文脈もありません。
そんなときは、文の意味から判断できる場合があります。

今回の文では、睡眠について一般的な話をしている文ですね。
「過去にそうだった」「未来にそうなるだろう」ではなく、「睡眠とは〜だ」という事実を述べている文です。

こういうときは「不変の真理」と同等だと考えて、現在形で表現するのが自然です。

つまり、選択肢は「is」が正解です！


他の選択肢についてもご質問があれば、お気軽にご連絡ください。

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高校数学「因数定理」ｘ3＋２ｘ2−２ｘ＋３はｘ＋３を因数にもつか？

高校数学「因数定理」ｘ³＋２ｘ²−２ｘ＋３はｘ＋３を因数にもつか？

◆問題

Ｐ(ｘ)＝ｘ³＋２ｘ²−２ｘ＋３が、ｘ＋３を因数にもつかどうか調べよ。因数にもつ場合は因数分解せよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

１次式を因数にもつかどうかは、因数定理で簡単に調べることができますね。

Ｐ(ａ)＝０のとき、ｘ−ａを因数にもつ

今回はｘ＋３を因数にもつかどうかを調べたいので、Ｐ(−３)を計算します。

Ｐ(−３)＝(−３)³＋２(−３)²−２×(−３)＋３
　　　＝−２７＋１８＋６＋３
　　　＝０

ゼロになったので、ｘ＋３は因数です。

そしてその場合は「因数分解せよ。」と言っているので、因数分解します。３次式の因数分解をするときは、まずはその因数でＰ(ｘ)を割ります。

もちろん普通に割り算で良いですが、ここでは組み立て除法で記載してみます。

まずはｘ＋３で割るので、左に−３，あとは係数を並べて書きます。

−３｜１　２　−２　３


続いて、一番上のくらいの係数をそのまま下ろして、「隣の位に掛けて足す」ことを次々とやっていきます。


−３｜１　２　−２　３
　　　　−３　　３−３
―――――――――――
　　　１−１　　１　０

というわけで、割った結果は、ｘ²−ｘ＋１、余りゼロです。
だから因数分解した結果は、

Ｐ(ｘ)＝(ｘ＋３)(ｘ²−ｘ＋１)

カッコの中は２次式ですが、「複素数の範囲で因数分解せよ」などと言われていなければ、コレで終わりです。

◆関連項目
３次方程式ｘ³＋ａｘ²−ｘ−６＝０の解の１つが２のとき
因数定理・高次方程式まとめ


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本日配信のメルマガ。2025年共通テスト英語第８問 本文２ページ目までの和訳

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■　問題

2025年大学入学共通テストより

第８問

You are working on an essay about space exploration. You will follow the
steps below:
Step 1: Read a range of opinions gathered from the Internet about exploring
outer space.
Step 2: Take a position on space exploration.
Step 3: Create an outline of your essay using additional sources.

＞[Step 1] Read a range of opinions
┌────────────────────────────────────┐
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つづく


※一部図や記号は省略または類似のものに変更、文章のレイアウトも一部変更、
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■　スラッシュリーディング

You are working on an essay / about space exploration.
あなたはエッセイに取り組んでいる / 宇宙探査についての

You will follow the steps below:
あなたは次のステップに従う

Step 1: Read a range of opinions / gathered from the Internet
/ about exploring outer space.
ステップ１：幅広い意見を読む / インターネットから集められた
/ 外宇宙を探索することについて

Step 2: Take a position / on space exploration.
ステップ２：立場を決める / 宇宙探査についての

Step 3: Create an outline of your essay / using additional sources.
ステップ３：あなたのエッセイの概要を作る / 追加の情報源を使って


(以下略)


(有料版では、解説の続きも掲載しています)
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高校数学「複素数平面」α，β，γを使って∠ＡＢＣを計算

高校数学「複素数平面」α，β，γを使って∠ＡＢＣを計算

■問題

α＝１＋ｉ，β＝３＋２ｉ，γ＝２＋４ｉの表す点をそれぞれＡ，Ｂ，Ｃとするとき、∠ＡＢＣを求めよ。

---

この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ

---

■解説

３点Ａ(α)，Ｂ(β)，Ｃ(γ)が与えられたとき、以下の式が成り立ちます。

∠ＢＡＣ＝ａｒｇγ−αβ−α

α、β、γにそれぞれ値を代入して計算してみましょう！

　γ−αβ−α
＝１＋３ｉ２＋ｉ
＝(１＋３ｉ)(２−ｉ)(２＋ｉ)(２−１)
＝２−ｉ＋６ｉ−３ｉ²４−ｉ²
＝５＋５ｉ５
＝１＋ｉ
＝√２{ｃｏｓ(π／４)＋ｉｓｉｎ(π／４)}

つまり、ａｒｇγ−αβ−α＝π／４です。

ということは、∠ＢＡＣ＝π／４ですね！

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高校数学「複素数平面」正三角形になるようなγの値

高校数学「複素数平面」正三角形になるようなγの値

■問題

点Ａ(α)，点Ｂ(β)，点Ｃ(γ)を頂点とする正三角形ＡＢＣがある。α＝１＋２ｉ，β＝７＋４ｉのとき、γを求めよ。

---

この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ

---

■解説

点ｚを点ｚ₀のまわりにθだけ回転した点をｗとすると、

ｗ−ｚ₀＝(ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ)(ｚ−ｚ₀)

という式が成り立ちます。
これを利用すると、γを表すことができますね。

例えばＡを中心とすると、Ｂを６０°＝π／３だけ回転した点がＣということができます。
つまり、

γ−α＝{ｃｏｓ(π／３)＋ｉｓｉｎ(π／３)}(β−α)

です。α，βの値を代入して計算してみましょう！

γ＝{ｃｏｓ(π／３)＋ｉｓｉｎ(π／３)}(β−α)＋α
＝(１／２＋ｉ・√３／２)(７＋４ｉ−１−２ｉ)＋１＋２ｉ
＝(１／２＋ｉ・√３／２)(６＋２ｉ)＋１＋２ｉ
＝３＋ｉ＋３√３ｉ＋√３ｉ²＋１＋２ｉ
＝４−√３＋３ｉ＋３√３ｉ
＝(４−√３)＋(３＋３√３)ｉ


回転方向は逆でも正三角形になるので、−π／３の場合も同様にやります。

γ＝{ｃｏｓ(−π／３)＋ｉｓｉｎ(−π／３)}(β−α)＋α
＝(１／２−ｉ・√３／２)(６＋２ｉ)＋１＋２ｉ
＝３＋ｉ−３√３ｉ＋√３＋１＋２ｉ
＝４＋√３＋３ｉ−３√３ｉ
＝(４＋√３)＋(３−３√３)ｉ


というわけで、求める値は、
γ＝(４−√３)＋(３＋３√３)ｉ，(４＋√３)＋(３−３√３)ｉ

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本日配信のメルマガ。2025年共通テスト数学２ＢＣ第５問(1)

本日配信のメルマガでは、2025年大学入学共通テスト数学２ＢＣ第５問の(1)を解説します。


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リクエスト等ございましたら、[e-mail]までお知らせください。


■　問題

2025年共通テスト数２ＢＣより

第５問

　以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて31 ページの正規分布表を
用いてもよい。

正規分布表はこちらにも掲載しています
→http://a-ema.seesaa.net/article/503202201.html

　Ｑ地域ではレモンを栽培しており、収穫されるレモンを重さによってサイズごとに
分類している(表１)。過去に収穫されたレモンの重さは、平均が１１０ｇ, 標準偏差
が２０ｇの正規分布に従うとする。

　　表1 レモンのサイズと重さの対応関係
　　┌―――┬―――――――――――┐
　　｜サイズ｜　レモン１個の重さ　　｜
　　├―――┼―――――――――――┤
　　｜　Ｓ　｜　80g以上90g 未満　　 ｜
　　｜　Ｍ　｜　90g以上110g未満　　 ｜
　　｜　Ｌ　｜110g以上 140g 未満　　｜
　　｜　2L　｜140g 以上170g 未満　　｜
　　｜その他｜80g未満または170g以上 ｜
　　└―――┴―――――――――――┘

(1) Ｑ地域で今年収穫されるレモンの重さ(単位はｇ)は、過去に収穫されたレモンの
重さと同じ分布に従うとする。すなわち、今年収穫される１個のレモンの重さを
確率変数Ｘで表すと、Ｘは正規分布Ｎ(110, 20^2)に従うとする。よって、今年収穫
されるレモンから無作為にレモンを１個抽出するとき、そのレモンがＬサイズである
確率は、Ｐ(110≦Ｘ＜140)＝Ｐ(110≦Ｘ≦140) であることに注意すると、
０．[アイウエ]である。

　いま、Ｑ地域で今年収穫されるレモンが20万個であるとし、その中のＬサイズの
レモンの個数を確率変数Ｙで表すと、Ｙは二項分布に従い、Ｙの平均(期待値)は
[オ]となる。

[オ]については、最も適当なものを、次の{0}〜{7}のうちから一つ選べ。
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} 13100　　　　{1} 13360　　　　{2} 31740　　　　{3} 68260　　　　　　｜
｜{4} 86640　　　　{5} 100000　　　 {6} 168260　　　 {7} 186640　　　　　 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘


つづく


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

　　確率統計まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/503260113.html

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■　解説目次

　◆１　第５問は確率統計
　◆２　平均１１０から大まかな予想をしてみる
　◆３　Ｚ＝(Ｘ−ｍ)／σに代入して表を利用

(以下略)

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■　解説

　◆１　第５問は確率統計

2025年共通テスト数学２ＢＣでは、第４問から第問が選択問題となりました。
ただし、第７問の複素数平面は旧数３の内容なので、実質的に第４問〜第６問が
必修となってしまった人も多いかも知れません。

この第５問では、確率統計の問題が出題されました。

正規分布や信頼区間、仮説検定が主な内容となっています。
公式や基本的な解き方はしっかりマスターしておきましょう！

えまじゅくブログでも、いろいろなポイントや問題を解説しています。
リクエストにもお応えしますので、良かったらご利用ください。

確率統計まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/503260113.html


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　◆２　平均１１０から大まかな予想をしてみる

では今回の問題です。

「Ｑ地域」で収穫されたレモンの重さを題材としています。
「平均は１１０ｇ，標準偏差は２０ｇ」という設定ですね。

(1)ではまず、「今年収穫される１個のレモンの重さを確率変数Ｘで表す」とあり
ます。

すると、「Ｘは正規分布Ｎ(１１０，２０^2)に従う」ということができますね。

このような条件で、Ｐ(１１０≦Ｘ≦１４０)を求めます。

とにかく公式に代入して計算で済んでしまいますが、

「平均は１１０ｇで、１１０ｇ〜１４０ｇになる確率を求めるのだから、
０．５より少し小さい数になりそうだな・・・」

などと、大まかな予想をしておくと、何らかのミスをしてしまった場合に気付く
可能性が高くなります。


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　◆３　Ｚ＝(Ｘ−ｍ)／σに代入して表を利用

では実際に正規分布の公式を利用して計算していきましょう！

標準化した確率関数をＺとすると、「Ｚ＝(Ｘ−ｍ)／σ」ですね。
ｍは平均、σは標準偏差だから、ｍ＝１１０，σ＝２０です。
つまり、Ｚ＝(Ｘ−１１０)／２０です。

Ｘ＝１１０のとき、Ｚ＝(１１０−１１０)／２０＝０
Ｘ＝１４０のとき、Ｚ＝(１４０−１１０)／２０＝１．５

だから、


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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高校英語「分詞構文」書き換えHumans do not have a known biological…

高校英語「分詞構文」書き換えHumans do not have a known biological…

◆問題

次の英文を分詞構文を使って同じ内容で書き換えてください。

Humans do not have a known biological mechanism to measure clock time, so they use mental processes instead.

---

分詞構文の練習には、以下の書籍もおすすめです。
プロ家庭教師・翻訳者が教える「最重要ポイントだけ」高校英文法問題集(後編)
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---

◆解説

分詞構文をつくるときは、基本的に

�@接続詞を消す
�A前後で主語が同じ時は、接続詞があった方の主語を消す
�B動詞を現在分詞形にする

という操作をします。
今回は否定文なので、これらのほかに、notを置く場所も考えなければいけないですね。
notは直後の語句を否定します。もとの文では動詞を否定しているから、分詞構文では現在分詞にした動詞の前、つまり文頭にnotを置くことになります。

Humans do not have a known biological mechanism to measure clock time, so they use mental processes instead.
→Not having a known biological mechanism to measure clock time, humans use mental processes instead.

このようになります。

前後で主語が同じ(humans＝they)だから主語を消して、humansが消えてしまわないように、theyのところをhumansにしました。
否定文だから文頭にnotを置いて、動詞haveを現在分詞形にしました。
接続詞soを消しました。

変更したところは以上です。

意味は「時計時間を測る既知の生物学的な仕組みを持っていないため、代わりに人間は心的プロセスを使う」です。


この問題を含む分詞構文の書き換え問題は、こちらにいろいろ掲載しています。

◆関連問題
Wanting to be accepted by his father...の書き換え、When he saw a policeman, he ran away.を分詞構文に
分詞構文まとめ


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高校数学「複素数平面」点ｚ0＝１＋ｉのまわりにπ／６だけ回転した点ｗ

高校数学「複素数平面」点ｚ₀＝１＋ｉのまわりにπ／６だけ回転した点ｗ

■問題

点ｚ＝５＋３ｉを、点ｚ₀＝１＋ｉのまわりにπ／６だけ回転した点ｗを求めよ。

---

この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ

---

■解説

点ｚを点ｚ₀のまわりにθだけ回転した点をｗとすると、

ｗ−ｚ₀＝(ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ)(ｚ−ｚ₀)

という式が成り立ちます。
点ｚ₀を原点とみなして回転を考えると、ｚ₀の分だけ引けば良い。というわけです。

今回の問題では、ｚ＝５＋３ｉ，ｚ₀＝１＋ｉ，θ＝π／６です。
これらの値を適宜代入していきます。

ｗ−ｚ₀＝{ｃｏｓ(π／６)−ｉｓｉｎ(π／６)}(ｚ−ｚ₀)

まずはこんな式ができます。
ｗを出したいので、移項して計算していきます。

ｗ＝{ｃｏｓ(π／６)＋ｉｓｉｎ(π／６)}(ｚ−ｚ₀)＋ｚ₀
　＝(√３／２＋ｉ／２)(５＋３ｉ−１−ｉ)＋(１＋ｉ)
　＝(√３／２＋ｉ／２)(４＋２ｉ)＋(１＋ｉ)
　＝２√３＋√３ｉ＋２ｉ＋ｉ²＋１＋ｉ
　＝２√３＋√３ｉ＋２ｉ−１＋１＋ｉ
　＝２√３＋(３＋√３)ｉ

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高校英語「分詞構文」書き換えGhost peppers can even burn…

高校英語「分詞構文」書き換えGhost peppers can even burn…

◆問題

次の英文を分詞構文を使って同じ内容で書き換えてください。

Ghost peppers can even burn a person's skin if they are touched.

---

分詞構文の練習には、以下の書籍もおすすめです。
プロ家庭教師・翻訳者が教える「最重要ポイントだけ」高校英文法問題集(後編)
高校英語「和訳↔英訳」特訓問題集�E準動詞 和訳↔英訳特訓問題集

---

◆解説

分詞構文をつくるときは、基本的に

�@接続詞を消す
�A前後で主語が同じ時は、接続詞があった方の主語を消す
�B動詞を現在分詞形にする

という操作をします。

文法的にやることはこれだけですが、意味がわからないと、思わぬミスをすることもあるので、まずは和訳を考えておきましょう！

Ghost peppers can even burn a person's skin if they are touched.
「ゴースト・ペッパーは、もし触れたなら、人の肌をやけどさせる可能性さえあります」

今回はif節が後ろに来ていますが、やることそのものは、前回の問題と同じです。
また、英語ではif節を前に持ってきても内容はほぼ変わらないので、分詞構文にする前に順番を入れ替えておくとやりやすいと思います。

If they are touched, ghost peppers can even burn a person's skin.

この文に対して、上記の説明の通りにやると、
�@接続詞Ifを消す。
�A前後で主語が同じなので、主語も消す。
�BIf節の動詞はare touchedで、areを現在分詞形にする。

というわけで、まず基本的な法則通りにやると、

Being touched, ghost peppers can even burn a person's skin.

このようになります！
そして、beingは省略できるので、

Touched, ghost peppers can even burn a person's skin.

こうすることもできます。
基本的なルール通りに直すと、このようになります。文法問題としては、これで問題ありません！
ただし、この英文は「自然な英語」ではないので…


この問題の解説の続きを含む分詞構文の書き換え問題は、こちらにいろいろ掲載しています。

◆関連問題
Wanting to be accepted by his father...の書き換え、When he saw a policeman, he ran away.を分詞構文に
分詞構文まとめ


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高校数学「複素数平面」(１＋√３ｉ)12の計算

高校数学「複素数平面」(１＋√３ｉ)¹²の計算

■問題

(１＋√３ｉ)¹²を計算せよ。


複素数の何乗もしている場合の計算では、ド・モアブルの定理を使います。

---

この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ

---

■解説

ド・モアブルの定理とは、

ｎが整数のとき、(ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ)n＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ

という定理です。

つまりは、複素数をｎ乗すると、偏角をｎ倍することになる。というわけです。

この定理を使うには、まずは極形式に直します。

ｒ＝√(１²＋√３²)＝√４＝２だから、
１＋√３ｉ＝２{１／２＋(√３／２)ｉ}
　　　　＝２{ｃｏｓ(π／３)＋ｉｓｉｎ(π／３)}

与式のカッコの中身を変形できたので、あとはド・モアブルの定理を使います。

　(１＋√３ｉ)¹²
＝２¹²{ｃｏｓ(π／３)＋ｉｓｉｎ(π／３)}¹²
＝４０９６(ｃｏｓ４π＋ｉｓｉｎ４π)
＝４０９６

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本日配信のメルマガ。2025年共通テスト英語第８問 本文２ペーシ目までの内容

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■　問題

2025年大学入学共通テストより

第８問

You are working on an essay about space exploration. You will follow the
steps below:
Step 1: Read a range of opinions gathered from the Internet about exploring
outer space.
Step 2: Take a position on space exploration.
Step 3: Create an outline of your essay using additional sources.

＞[Step 1] Read a range of opinions
┌────────────────────────────────────┐
｜[Apu (university professor)]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜The exploration of space requires a lot of research time and money. All ｜
｜this research has led to many new inventions and boosted humanity's 　　｜
｜scientific and technical knowledge. While laser eye surgery, solar 　　 ｜
｜cells, freeze-dried food, and wireless headsets are just a few examples ｜
｜that have come out of space research, perhaps the invention that has 　 ｜
｜proven the most useful in modern life is the computer mouse. This was 　｜
｜developed in the 1960s on a NASA research project.　　　　　　　　　　　｜
├────────────────────────────────────┤
｜[Christine (company CEO)]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
｜Much space exploration relies on international cooperation, a good 　　 ｜
｜example being the International Space Station, launched in 1998. The 　 ｜
｜main reasons for this cooperation are to share the huge costs involved ｜
｜and to improve national prestige. More recently, private companies have ｜
｜begun exploring space, though mostly for commercial reasons. In the 　　｜
｜future, it is possible that countries or corporations will try to 　　　｜
｜colonize parts of the moon or Mars. While financial cooperation and 　　｜
｜raising prestige are welcome, improper commercial or military use of 　 ｜
｜outer space is not.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
├────────────────────────────────────┤
｜[Meilin (journalist)]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
｜As the famous physicist, Stephen Hawking, once said, it is probably 　　｜
｜dangerous to broadcast into deep space evidence of the existence of 　　｜
｜humans here on Earth. If our nearest intelligent aliens are anything 　 ｜
｜like us, then they will seek to conquer Earth and humanity. For me, this｜
｜is the greatest threat associated with space exploration. The deeper 　 ｜
｜into space we travel, the greater the likelihood Earth will be 　　　　 ｜
｜discovered by an aggressive alien civilization.　　　　　　　　　　　　 ｜
└────────────────────────────────────┘

┌────────────────────────────────────┐
｜[Naomi (lawyer)]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜Historically, jobs working at sea were likely the least safe, with the ｜
｜highest rates of death in the workplace. In modern times, space is no 　｜
｜different, if not worse. Once we are just 10,000 meters or so above the ｜
｜surface of the Earth, there is little oxygen and the temperature is too ｜
｜low for human survival. Since the first person went into space in 1961, ｜
｜19 of 652 astronauts have died on the job: a fatality rate of 2.9%. No ｜
｜other business or industry would tolerate such a high level of danger. ｜
｜Why should the space industry?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
├────────────────────────────────────┤
｜Victor (financial analyst)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜Space exploration has contributed hugely to economic growth. In the USA,｜
｜NASA provided work for nearly 340,000 people in 2021, mostly at above-　｜
｜average salaries, and it is estimated that it has contributed $7.7 　　 ｜
｜billion in taxes to the US government. Space is also being explored by ｜
｜other countries, such as China, India, Japan, and Russia. In the future,｜
｜further economic growth will be ensured by more private firms entering ｜
｜the space race and by the rise of space tourism, space mining, space 　 ｜
｜colonization, and space militarization.　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
└────────────────────────────────────┘


つづく


※一部図や記号は省略または類似のものに変更、文章のレイアウトも一部変更、
マーク部分の□や下線部は[ ]、マル１は{1}で表記しています。

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■　スラッシュリーディング

You are working on an essay / about space exploration.
あなたはエッセイに取り組んでいる / 宇宙探査についての

You will follow the steps below:
あなたは次のステップに従う

Step 1: Read a range of opinions / gathered from the Internet
/ about exploring outer space.
ステップ１：幅広い意見を読む / インターネットから集められた
/ 外宇宙を探索することについて

Step 2: Take a position / on space exploration.
ステップ２：立場を決める / 宇宙探査についての

Step 3: Create an outline of your essay / using additional sources.
ステップ３：あなたのエッセイの概要を作る / 追加の情報源を使って


(以下略)


(有料版では、解説の続きも掲載しています)
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高校数学「複素数平面」点ｚ／αはどのような点か

高校数学「複素数平面」点ｚ／αはどのような点か

■問題

０でない複素数ｚ＝ｒ(ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ)とα＝２{ｃｏｓ(π／３)＋ｉｓｉｎ(π／３)}について、点ｚ／αはどのような点か求めよ。


つまり、ｚ／αを計算して、商の複素数の図形的意味を説明します。

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この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ

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■解説

商の場合も、積の場合と主なポイントは同じです。

要するに、商の極形式を計算して、もとの複素数との変化を見ればいいよ！ってことです。

まばすｚ／αを計算してみましょう！

商の極形式より、
ｚ／α＝(ｒ／２){ｃｏｓ(θ−π／３)＋ｉｓｉｎ(θ−π／３)}

「ｒ／２だから、距離は１／２倍、θ−π／３だから−π／３回転」です。

きちんとかっこつけて言えば、

「点ｚ／αは、点ｚを原点からの距離を１／２倍して−π／３だけ回転した点」

と言えます！

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高校数学「複素数平面」α＝√２＋√２ｉを掛けた点αｚ

高校数学「複素数平面」α＝√２＋√２ｉを掛けた点αｚ

■問題

０でない複素数ｚ＝ｒ(ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ)に、α＝√２＋√２ｉを掛けた点αｚはどのような点か？


つまり、αｚを計算して、複素数の積の図形的意味を説明します。

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この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ

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■解説

複素数の積の図形的意味については、一般に以下のことが言えます。

α＝ｒ0(ｃｏｓθ0＋ｉｓｉｎθ0)とするとき、 αｚ＝ｒ0(ｃｏｓθ0＋ｉｓｉｎθ0)ｚの表す点αｚは、点ｚを原点のまわりにθ0だけ回転し、さらに、原点からの距離をｒ0倍した点である。

要するに、積の極形式を計算して、もとの複素数との変化を見ればいいよ！ってことです。

αｚを計算してみましょう！

そのためにまずはαを極形式に直します。

α＝√２＋√２ｉだから、ｒ＝√(√２²＋√２²)＝√４＝２なので、
α＝２{√２／２＋(√２／２)ｉ}＝２{ｃｏｓ(π／４)＋ｉｓｉｎ(π／４)}

積の極形式より、
αｚ＝２ｒ{ｃｏｓ(θ＋π／４)＋ｉｓｉｎ(θ＋π／４)}

αｚの式はこのようになります。
つまりｚをどのように移動したか？というと、「原点からの距離を２倍してπ／４だけ回転した」と言えます！

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高校英語「分詞構文」書き換えWhile I was waiting…

高校英語「分詞構文」書き換えWhile I was waiting…

◆問題

次の英文を分詞構文を使って同じ内容で書き換えてください。

While I was waiting for the bus to go back, I saw another traveler.

---

分詞構文の練習には、以下の書籍もおすすめです。
プロ家庭教師・翻訳者が教える「最重要ポイントだけ」高校英文法問題集(後編)
高校英語「和訳↔英訳」特訓問題集�E準動詞 和訳↔英訳特訓問題集

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◆解説

分詞構文をつくるときは、基本的に

�@接続詞を消す
�A前後で主語が同じ時は、接続詞があった方の主語を消す
�B動詞を現在分詞形にする

という操作をします。

文法的にやることはこれだけですが、意味がわからないと、思わぬミスをすることもあるので、まずは和訳を考えておきましょう！

While I was waiting for the bus to go back, I saw another traveler.
「そのバスが戻ってくるのを待っている間、私はもう一人の旅行者に会った」

カンマの前の部分を分詞構文に書き換えれば良いですね！
上記の説明の通りにやると、
�@接続詞Whileを消す。
�A前後で主語が同じなので、主語も消す。
�B前半の動詞はwas waitingで、wasを現在分詞形にする。

というわけで、まず基本的な法則通りにやると、

Being waiting for the bus to go back, I saw another traveler.

このようになります！
そして、beingは省略できるので、

Waiting for the bus to go back, I saw another traveler.

こうすることもできます。さらに…


この問題の解説の続きを含む分詞構文の書き換え問題は、こちらにいろいろ掲載しています。

◆関連問題
Wanting to be accepted by his father...の書き換え、When he saw a policeman, he ran away.を分詞構文に


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2025年共通テストの解説

2025年共通テストの解説記事の一覧です。

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小問１問ごと、文章１段落ごとに分けた解説は、以下のブログで無料公開しています。
共通テスト・センター英語をひとつひとつ解説するブログ
共通テスト・センター数学を理由の理由まで解説するブログ

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以下のページでは、大問１問をまとめた記事にして、表や式なども整えて表示しています。
より便利に使いたいという方はご利用ください。


◆2025年大学入学共通テスト英語　解答解説＆スラッシュリーディング＆全文訳
第１問
第２問
第３問
第４問
第５問
第６問
第７問
第８問

◆2025年大学入学共通テスト数学１Ａ
第１問[1]
第１問[2]
第２問[1]
第２問[2]
第３問
第４問

◆2025年大学入学共通テスト数学２ＢＣ
第１問
第２問
第３問
第４問
第５問
第６問
第７問


順次掲載していきます！


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本日配信のメルマガ。2025年共通テスト英語第８問 本文１ページ目和訳

本日配信のメルマガでは、2025年大学入学共通テスト英語第８問の本文１ページ目の和訳を掲載します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■　問題

2025年大学入学共通テストより

第８問

You are working on an essay about space exploration. You will follow the
steps below:
Step 1: Read a range of opinions gathered from the Internet about exploring
outer space.
Step 2: Take a position on space exploration.
Step 3: Create an outline of your essay using additional sources.

＞[Step 1] Read a range of opinions
┌────────────────────────────────────┐
｜[Apu (university professor)]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜The exploration of space requires a lot of research time and money. All ｜
｜this research has led to many new inventions and boosted humanity's 　　｜
｜scientific and technical knowledge. While laser eye surgery, solar 　　 ｜
｜cells, freeze-dried food, and wireless headsets are just a few examples ｜
｜that have come out of space research, perhaps the invention that has 　 ｜
｜proven the most useful in modern life is the computer mouse. This was 　｜
｜developed in the 1960s on a NASA research project.　　　　　　　　　　　｜
├────────────────────────────────────┤
｜[Christine (company CEO)]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
｜Much space exploration relies on international cooperation, a good 　　 ｜
｜example being the International Space Station, launched in 1998. The 　 ｜
｜main reasons for this cooperation are to share the huge costs involved ｜
｜and to improve national prestige. More recently, private companies have ｜
｜begun exploring space, though mostly for commercial reasons. In the 　　｜
｜future, it is possible that countries or corporations will try to 　　　｜
｜colonize parts of the moon or Mars. While financial cooperation and 　　｜
｜raising prestige are welcome, improper commercial or military use of 　 ｜
｜outer space is not.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
├────────────────────────────────────┤
｜[Meilin (journalist)]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
｜As the famous physicist, Stephen Hawking, once said, it is probably 　　｜
｜dangerous to broadcast into deep space evidence of the existence of 　　｜
｜humans here on Earth. If our nearest intelligent aliens are anything 　 ｜
｜like us, then they will seek to conquer Earth and humanity. For me, this｜
｜is the greatest threat associated with space exploration. The deeper 　 ｜
｜into space we travel, the greater the likelihood Earth will be 　　　　 ｜
｜discovered by an aggressive alien civilization.　　　　　　　　　　　　 ｜
└────────────────────────────────────┘


つづく


※一部図や記号は省略または類似のものに変更、文章のレイアウトも一部変更、
マーク部分の□や下線部は[ ]、マル１は{1}で表記しています。

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■　スラッシュリーディング

You are working on an essay / about space exploration.
あなたはエッセイに取り組んでいる / 宇宙探査についての

You will follow the steps below:
あなたは次のステップに従う

Step 1: Read a range of opinions / gathered from the Internet
/ about exploring outer space.
ステップ１：幅広い意見を読む / インターネットから集められた
/ 外宇宙を探索することについて

Step 2: Take a position / on space exploration.
ステップ２：立場を決める / 宇宙探査についての

Step 3: Create an outline of your essay / using additional sources.
ステップ３：あなたのエッセイの概要を作る / 追加の情報源を使って


(以下略)


(有料版では、解説の続きも掲載しています)
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