中学数学「２次関数」ｙ＝ａｘ2のグラフがＡＢ＝ＯＢとなるとき�A

中学数学「２次関数」ｙ＝ａｘ²のグラフがＡＢ＝ＯＢとなるとき�A

◆問題

原点をＯとする座標平面上の２次関数ｙ＝ａｘ²のグラフは点Ａ(４，２)を通っている。ｙ軸上に点ＢをＡＢ＝ＯＢとなるようにとる。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 点Ｂの座標を求めよ。

(2) ∠ＯＢＡの二等分線の式を求めよ。

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なお、今回の問題は中学レベルとしてはとても難しいです。
自信がない人は、中学数学２次関数まとめなどで、まずは基本問題の復習をしましょう！

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◆解答解説

まず△ＯＢＡに注目すると、ＡＢ＝ＯＢの二等辺三角形ですね。
∠ＯＢＡは二等辺三角形の頂角です。

「二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に二等分する」

という性質があります。
つまり、∠ＯＢＡの二等分線は、ＯＡの中点を通る。というわけです。

Ｏ(０，０)，Ａ(４，２)だから、これらの中点は、(２，１)です。

ということは、求める直線は、(０，５)と(２，１)通ることになります。
あとは、普通に直線の式を求めればＯＫですね！(０，５)は切片ｂ＝５だから、

ｙ＝ａｘ＋ｂに、(２，１)，ｂ＝５を代入すると、
　　１＝２ａ＋５
−２ａ＝５−１
−２ａ＝４
　　ａ＝−２

よって∠ＯＢＡの二等分線の式は、ｙ＝−２ｘ＋５


次の問題→ひし形ＯＣＡＤについて

中学数学２次関数まとめ


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中学数学「２次関数」ｙ＝ａｘ2のグラフがＡＢ＝ＯＢとなるとき�@

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◆問題

原点をＯとする座標平面上の２次関数ｙ＝ａｘ²のグラフは点Ａ(４，２)を通っている。ｙ軸上に点ＢをＡＢ＝ＯＢとなるようにとる。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 点Ｂの座標を求めよ。

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なお、今回の問題は中学レベルとしてはとても難しいです。
自信がない人は、中学数学２次関数まとめなどで、まずは基本問題の復習をしましょう！

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◆解答解説

まず、ｙ＝ａｘ²のａを求めておきましょう！
この関数のグラフが、(４，２)を通るのだから、この座標を代入することができます。

２＝ａ×４²
２＝１６ａ
ａ＝２／１６＝１／８

点Ｂはｙ軸上の点なので、ｘ＝０だから(０，ｙ)とおきます。

ＡＢ＝ＯＢという条件なので、その通りに式を立てます。

ＡＢの長さは三平方の定理の応用の「２点間の距離」で求めることができます。
ＡＢを斜辺とする直角三角形を考えると、縦はｙ−２，横は４だから、

ＡＢ²＝(ｙ−２)²＋４²
　　＝ｙ²−４ｙ＋４＋１６
　　＝ｙ²−４ｙ＋２０

そして、ＯＢ＝ｙです。

ＡＢ＝ＯＢだから、ＡＢ²＝ＯＢ²ですね。
ということで、

ｙ²−４ｙ＋２０＝ｙ²

こんな式ができます。あとは解いてみましょう！

−４ｙ＋２０＝０
　　　−４ｙ＝−２０
　　　　　ｙ＝５

よって、求める点Ｂの座標は、(０，５)となります。


次の問題→∠ＯＢＡの二等分線の式

中学数学２次関数まとめ


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高校数学「平面図形の性質」内角の二等分線と比

高校数学「平面図形の性質」内角の二等分線と比

★内角の二等分線の定理(the internal angle bisector theorem)



△ＡＢＣの∠Ａの二等分線と対辺ＢＣとの交点をＰとすると、ＰはＢＣをＡＢ：ＡＣに内分する。


つまり、ＢＰ：ＰＣ＝ＡＢ：ＡＣです。
内分ということに気をつければ、外角の二等分線の場合の考え方と同じであることを理解しておきましょう！

このブログに掲載している一部の図形は「イラストＡＣ」サイトからダウンロード可能です。



◆関連項目
外角の二等分線と比
図形の性質まとめ
三角比まとめ

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