【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2025年共通テスト数１Ａより
第４問
ある行事で、主催者が次のゲームを計画している。
┌―[ゲーム]―――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ 参加者はくじを最大３回引き、当たりが出たら、1200円相当の景品を主催者 ｜
｜から受け取り、以降はくじを引かない。参加者はくじを１回目、２回目、３回目｜
｜で異なる箱から引く。１回目のくじ引きで当たりが出なかった場合は２回目の ｜
｜くじを引き、３回目のくじ引きでも当たりが出なかった場合は３回目のくじを ｜
｜引く。主催者は、当たりの出る確率について次のとおり設定する。 ｜
｜ ｜
｜・１回目に当たりが出る確率は３／１６である。 ｜
｜・１回目に当たりが出ず、かつ２回目に当たりが出る確率は１／８である。 ｜
｜・１回目、２回目ともに当たりが出ず、かつ３回目に当たりが出る確率は ｜
｜ １／１６である。 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
ゲームの参加料について、主催者は２種類の支払い方法を考えている。参加料に
関する設定の妥当性について、主催者は判断を行う。
(1) １回目または２回目に当たりが出る確率は[ア]／[イウ]である。このことから、
１回目、２回目ともに当たりが出ない確率は[エオ]／[カキ]であることがわかる。
１回も当たりが出ない確率は[ク]／[ケ]である。
以下では、主催者が参加者に対して負担する金額をＸ円とする。すなわち、
参加者が[ゲーム]で景品を受け取るときＸ＝1200, 参加者がゲームで景品を受け取ら
ないときＸ＝０である。
(2)
(i) 数量Ｘの期待値は[コサシ]である。なお、必要に応じて、次に示す表を用いて
考えてもよい。
┌―――┬――――┬――――┬―――┐
｜ Ｘ ｜ ０ ｜ 1200 ｜ 計 ｜
├―――┼――――┼――――┼―――┤
｜確 率｜ ｜ ｜ ｜
└―――┴――――┴――――┴―――┘
(ii) 次の[支払い方法１]を考える。
┌―[支払い方法１]――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ 参加者は１回目のくじを引く直前に参加料５００円を支払う。 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[支払い方法１]の場合、主催者が負担する金額Ｘ円の期待値が、参加料の金額
500円未満であるとき、主催者は参加料の設定は妥当であると判断し、参加料の金額
500円以上であるとき、参加料の設定は妥当ではないと判断する。
(i)で求めたＸ円の期待値[コサシ]円は参加料の金額500円[ス]。したがって、
主催者は参加料500円という設定について[セ]と判断する。
[ス]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} 未満である {1} 以上である ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[セ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} 妥当である {1} 妥当ではない ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(3) ａを正の定数とする。次の[支払い方法２]を考える。
┌―[支払い方法２]――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ 参加者は１回目、２回目、３回目のくじを引く直前にそれぞれ料金ａ円を ｜
｜支払う。なお、この料金をくじ引き料といい、当たりが出た後は、くじを引か ｜
｜ないため、くじ引き料を支払わないことになる。 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[支払い方法２]で、[ゲーム]を通して参加者が支払うくじ引き料の合計を参加料と
し、Ｙ円で表す。
(i) ａ＝１７０とする。このとき次の式が成り立つ。
・１回目の当たりが出るとき、Ｙ＝１７０である。
・１回目に当たりが出ず、かつ２回目に当たりが出るとき、Ｙ＝３４０である。
・１回目、２回目ともに当たりが出ないとき、Ｙ＝５１０である。
数量Ｙの期待値は[ソタチ]である。なお、必要に応じて次に示す表を用いて
考えてもよい。
┌―――┬―――――┬―――――┬―――――┬―――┐
｜ Ｙ ｜ １７０ ｜ ３４０ ｜ ５１０ ｜ 計 ｜
├―――┼―――――┼―――――┼―――――┼―――┤
｜確 率｜ ｜ ｜ ｜ ｜
└―――┴―――――┴―――――┴―――――┴―――┘
(ii) [支払い方法２]の場合、主催者が負担する金額Ｘ円の期待値が、参加料Ｙ円の
期待値未満であるとき、主催者はくじ引き料の設定は妥当であると判断し、参加料
Ｙ円の期待値以上であるとき、くじ引き料の設定は妥当でないと判断する。
(2)の(i)で求めたＸ円の期待値[コサシ]円は、ａ＝１７０と設定した場合の
[支払い方法２]で参加者が支払う参加料Ｙ円の期待値[ソタチ]円[ツ]。したがって、
主催者はくじ引き料１７０円という設定について[テ]と判断する。
また、主催者がくじ引き料の設定が妥当であると判断するのはａ＞[トナニ]のとき
であり、主催者がくじ引き料の設定が妥当でないと判断するのはａ≪[トナニ]のとき
である。
[ツ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} 未満である {1} 以上である ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[テ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} 妥当である {1} 妥当ではない ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□や太字は[ ]で表記して
います。
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■ 解説目次
◆１ 第４問は場合の数・確率
◆２ 問題内容の確認
◆３ 「または」は足し算
(以下略)
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■ 解説
◆１ 第４問は場合の数・確率
2025年第４問は確率の問題でした。
従来から問われている、Ｐ，Ｃを使う確率の計算だけでなく、期待値や仮説検定
についても問われるようになりました。
こういった新しい内容は、最初の数年間は出題されやすい傾向があります。
ブログ記事にも様々な論点を掲載していますので、参考にしてみてください。
場合の数・確率まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/479026189.html
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◆２ 問題内容の確認
今回の問題では、くじ引きについて確率や期待値を用いて考察します。
まずは問題の内容を確認しましょう！
ある行事で、主催者が次のゲームを計画している。
┌―[ゲーム]―――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ 参加者はくじを最大３回引き、当たりが出たら、1200円相当の景品を主催者 ｜
｜から受け取り、以降はくじを引かない。参加者はくじを１回目、２回目、３回目｜
｜で異なる箱から引く。１回目のくじ引きで当たりが出なかった場合は２回目の ｜
｜くじを引き、３回目のくじ引きでも当たりが出なかった場合は３回目のくじを ｜
｜引く。主催者は、当たりの出る確率について次のとおり設定する。 ｜
｜ ｜
｜・１回目に当たりが出る確率は３／１６である。 ｜
｜・１回目に当たりが出ず、かつ２回目に当たりが出る確率は１／８である。 ｜
｜・１回目、２回目ともに当たりが出ず、かつ３回目に当たりが出る確率は ｜
｜ １／１６である。 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
このような設定となっています。
要するに、
最大３回までくじを引く。当たりが出たらその時点で終了。
確率は３／１６→１／８→１／１６となっている。
という内容です。
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◆３ 「または」は足し算
では、設問の確率を計算していきます。
最初は、「１回目または２回目に当たりが出る確率」ですね。
これは「１回目に当たりが出た場合」と「１回目に外れて２回目に当たった場合」
です。
まず１回目に当たるのは、３／１６ですね。
１回目に外れて２回目に当たるのは、１／８です。
これら２パターンの合計・・・
つづく
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル：数学
