本日配信のメルマガでは、2025年大学入学共通テスト数学２ＢＣ第５問の (2)までを解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.htmlリクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。
■ 問題
2025年共通テスト数２ＢＣより
第５問
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて31 ページの正規分布表を
用いてもよい。
正規分布表はこちらにも掲載しています
→
http://a-ema.seesaa.net/article/503202201.html Ｑ地域ではレモンを栽培しており、収穫されるレモンを重さによってサイズごとに
分類している(表１)。過去に収穫されたレモンの重さは、平均が１１０ｇ, 標準偏差
が２０ｇの正規分布に従うとする。
表1 レモンのサイズと重さの対応関係
┌―――┬―――――――――――┐
｜サイズ｜ レモン１個の重さ ｜
├―――┼―――――――――――┤
｜ Ｓ ｜ 80g以上90g 未満 ｜
｜ Ｍ ｜ 90g以上110g未満 ｜
｜ Ｌ ｜110g以上 140g 未満 ｜
｜ 2L ｜140g 以上170g 未満 ｜
｜その他｜80g未満または170g以上 ｜
└―――┴―――――――――――┘
(1) Ｑ地域で今年収穫されるレモンの重さ(単位はｇ)は、過去に収穫されたレモンの
重さと同じ分布に従うとする。すなわち、今年収穫される１個のレモンの重さを
確率変数Ｘで表すと、Ｘは正規分布Ｎ(110, 20^2)に従うとする。よって、今年収穫
されるレモンから無作為にレモンを１個抽出するとき、そのレモンがＬサイズである
確率は、Ｐ(110≦Ｘ＜140)＝Ｐ(110≦Ｘ≦140) であることに注意すると、
０．[アイウエ]である。
いま、Ｑ地域で今年収穫されるレモンが20万個であるとし、その中のＬサイズの
レモンの個数を確率変数Ｙで表すと、Ｙは二項分布に従い、Ｙの平均(期待値)は
[オ]となる。
[オ]については、最も適当なものを、次の{0}～{7}のうちから一つ選べ。
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} 13100 {1} 13360 {2} 31740 {3} 68260 ｜
｜{4} 86640 {5} 100000 {6} 168260 {7} 186640 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(2) 太郎さんと花子さんは、Ｑ地域で今年収穫されるレモンから何個かを抽出して、
今年収穫されるレモンの重さの平均(母平均)を推定する方法について話している。
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜太郎：母平均に対する信頼度９５％の信頼区間の幅を４ｇ以下にして推定したい｜
｜ ね。 ｜
｜花子：母標準偏差を過去と同じ２０ｇとすると、何個のレモンの重さを量れば ｜
｜ いいかな。 ｜
｜太郎：信頼区間の式から、必要な標本の大きさを求めてみようよ。 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
母平均に対する信頼度９５％の信頼区間の幅を４ｇ以下にするために必要な標本の
大きさを求める。いま、Ｑ地域で今年収穫されるレモン全体を母集団とし、その
重さの母平均をｍｇ, 母標準偏差をσｇとする。この母集団から無作為に抽出した
ｎ個のレモンの重さを確率変数Ｗ1，Ｗ2，…，Ｗnで表すと、標本の大きさｎが
十分に大きいとき、標本平均＝(１／ｎ)(Ｗ1＋Ｗ2＋…＋Ｗn)は近似的に正規分布
Ｎ(ｍ，[カ])に従う。また、ｍに対する信頼度９５％の信頼区間をＡ≦ｍ≦Ｂと
表すと、信頼区間の幅はＢ－Ａ＝[キ]／√ｎとなる。
したがって、母標準偏差を過去と同じσ＝２０として、ｎに関する不等式
[キ]／√ｎ≦４ ……{1}
を満たす自然数を求めればよい。{1}の両辺は正であるから、両辺を２乗して整理
すると、([キ])^2≦１６ｎとなる。この不等式を満たす最小の自然数ｎをｎ0と
するとｎ0＝[クケコ]である。ゆえに、ｍに対する信頼度９５％の信頼区間の幅を
４ｇ以下にするために必要な標本の大きさのうち、最小のものは[クケコ]である
ことがわかる。
[カ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} σ {1} σ／√ｎ {2} √σ／ｎ {3} σ／ｎ ｜
｜{4} σ^2 {5} σ^2／√ｎ {6} σ^2／ｎ {7} σ^2／ｎ^2 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[キ]については、最も適当なものを、次の{0}～{5}のうちから一つ選べ。
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} σ {1} １．６５σ {2} １．９６σ ｜
｜{3} ２σ {4} ３．３σ {5} ３．９２σ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
つづく
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
確率統計まとめ→
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■ 解説目次
◆１ 第５問は確率統計
◆２ 平均１１０から大まかな予想をしてみる
◆３ Ｚ＝(Ｘ－ｍ)／σに代入して表を利用
(以下略)
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■ 解説
◆１ 第５問は確率統計
2025年共通テスト数学２ＢＣでは、第４問から第問が選択問題となりました。
ただし、第７問の複素数平面は旧数３の内容なので、実質的に第４問～第６問が
必修となってしまった人も多いかも知れません。
この第５問では、確率統計の問題が出題されました。
正規分布や信頼区間、仮説検定が主な内容となっています。
公式や基本的な解き方はしっかりマスターしておきましょう！
えまじゅくブログでも、いろいろなポイントや問題を解説しています。
リクエストにもお応えしますので、良かったらご利用ください。
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◆２ 平均１１０から大まかな予想をしてみる
では今回の問題です。
「Ｑ地域」で収穫されたレモンの重さを題材としています。
「平均は１１０ｇ，標準偏差は２０ｇ」という設定ですね。
(1)ではまず、「今年収穫される１個のレモンの重さを確率変数Ｘで表す」とあり
ます。
すると、「Ｘは正規分布Ｎ(１１０，２０^2)に従う」ということができますね。
このような条件で、Ｐ(１１０≦Ｘ≦１４０)を求めます。
とにかく公式に代入して計算で済んでしまいますが、
「平均は１１０ｇで、１１０ｇ～１４０ｇになる確率を求めるのだから、
０．５より少し小さい数になりそうだな・・・」
などと、大まかな予想をしておくと、何らかのミスをしてしまった場合に気付く
可能性が高くなります。
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◆３ Ｚ＝(Ｘ－ｍ)／σに代入して表を利用
では実際に正規分布の公式を利用して計算していきましょう！
標準化した確率関数をＺとすると、「Ｚ＝(Ｘ－ｍ)／σ」ですね。
ｍは平均、σは標準偏差だから、ｍ＝１１０，σ＝２０です。
つまり、Ｚ＝(Ｘ－１１０)／２０です。
Ｘ＝１１０のとき、Ｚ＝(１１０－１１０)／２０＝０
Ｘ＝１４０のとき、Ｚ＝(１４０－１１０)／２０＝１．５
だから、
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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発行者 江間淳(EMA Atsushi)
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