2014年10月02日

【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方vol.1

【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方vol.1は、明日の午後9時頃配信です。
今日は無料版のメルマガを掲載します。無料版では、問題の途中までを掲載します。
有料版では、解説の後半のほかに、解答一覧や公式集なども!

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◇◆ センター過去問解説 ◆◇ vol.121 ≪2014年 数2B 第1問[1]≫
                            2014/10/2配信
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【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方 vol.1より

■ 問題

2014年大学入試センター試験数学2B

第1問

[1] Oを原点とする座標平面において、点P(p,q)を中心とする円Cが、
方程式y=(4/3)xで表される直線lに接しているとする。

(1) 円Cの半径rを求めよう。
 点Pを通り直線lに垂直な直線の方程式は

   y=−([ア]/[イ])(x−p)+q

なので、Pからlに引いた垂線とlの交点Qの座標は

   ((3/25)([ウ]p+[エ]q),(4/25)([ウ]p+[エ]q))

となる。
 求めるCの半径rは、Pとlの距離PQに等しいので、

   r=(1/5)|[オ]p−[カ]q| ・・・{1}

である。

(2) 円Cが、x軸に接し、点R(2,2)を通る場合を考える。このとき、
p>0,q>0である。Cの方程式を求めよう。

 Cはx軸に接するので、Cの半径rはqに等しい。したがって、{1}により、
p=[キ]qである。

 Cは点Rを通るので、求めるCの方程式は

   (x−[ク])^2+(y−[ケ])^2=[コ] ・・・{2}
または
   (x−[サ])^2+(y−[シ])^2=[ス] ・・・{3}

であることがわかる。ただし[コ]<[ス]とする。

(3) 方程式{2}の表す円の中心をS,方程式{3}の表す円の中心をTとおくと、
直線STは原点Oを通り、点Oは線分STを[セ]する。[セ]に当てはまるものを、
次の{0}〜{5}のうちから一つ選べ。

{0} 1:1に内分  {1} 1:2に内分  {2} 2:1に内分
{3} 1:1に外分  {4} 1:2に外分  {5} 2:1に外分


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マル1は{1}
マーク部分の□は[ ]で表記しています。

まずは自力で解けるところまで解いてみてください。自分なりの考えを持ちながら
解説を読むと、考え方をスムーズに習得でき、短期間でも大幅に実力アップ!


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このメルマガの筆者江間淳は、主に水戸市などで家庭教師をやっています。
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■ 解説目次

■ 解説目次

 ◆1 y−y1=m(x−x1)も使えるようにしよう!
 ◆2 円の標準形と一般形
 ◆3 グラフは決まっているものを先に描こう
 ◆4 垂直条件はmm’=−1
 ◆5 交点なら連立

   ↑↑ −−− (このメルマガでの解説はここまで) −−− ↑↑

 ◆6 半径と接線は垂直
 ◆7 x軸に接するなら、中心のy座標が半径
 ◆8 通る点は代入できる
 ◆9 O,S,Tは等間隔

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■ 解説

 ◆1 y−y1=m(x−x1)も使えるようにしよう!

2014年第1問[1]は直線や円に関する問題でした。
今回の問題に入る前に、直線と円の基本を確認しておきましょう!
「そんなの知ってるよ!」という人は、ここは飛ばしてもらってもOKです。

まず直線は、中学でも習ったように、★y=ax+bと表すことができます。
傾きがa,y切片がbですね。
2点を通る直線を求めたいときは、a,bについての式を2つ作って連立します。

高校ではこれを少し発展させて、2点を通るときも一発で直線の式が完成する
ようにしています。

2点の座標を(x1,y1),(x2,y2)とすると、

★ y−y1={(y2−y1)/(x2−x1)}(x−x1)

ここで、(y2−y1)/(x2−x1)の部分は要するに、中学でも変化の割合の定義
として習った、(yの増加量)/(xの増加量)です。

この変化の割合=傾きをmとすれば、★y−y1=m(x−x1)となります。
この式は、傾きと直線上の点1つがわかっているときに使える。と考えます。

y=ax+bで解けない問題はまずありませんが、時間短縮のためには、これら
高校で習った公式を使えるようにしておいた方がよいと思います。


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 ◆2 円の標準形と一般形

次に円の式を確認してみましょう!
中心の座標を(p,q)、半径をrとすると、

★ (x−p)^2+(y−q)^2=r^2

このように表すことができます。この形を円の標準形と言います。
言うまでもないかも知れませんが、円では中心と半径が重要です。

そして、この式を展開して整理すると、次のようにすることができます。

★ x^2+y^2+ax+by+c=0

展開してr^2を移項する。というわけですね。これが円の一般形です。
中心や半径についての情報がないときは、この式を利用することがあります。

また、この一般形を平方完成すると、標準形にすることができますね。
一般形で円の方程式を求めた場合は、標準形に直して、中心と半径を求める
場合が多いです。


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 ◆3 グラフは決まっているものを先に描こう

さて、前置きはこのくらいにして、今回の問題に取りかかってみましょう!

まずは問題の条件を確認します。
円Cと直線lについて説明がありますね。

円Cは点P(p,q)を中心としている。
直線lは方程式y=(4/3)xで表され、円Cに接している。

ことがわかります。
ここからは、グラフを描きながら読んでいってください。

まず、直線lは式が決まっているので、それらしく見えるように描きます。
点Pはまだ場所がわからないので、適当なところに取ります。
半径もまだわからないですが、直線lが接線になることは分かっているので、
先ほど描いた直線と接するように円を描きます。

描きましたか?


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 ◆4 垂直条件はmm'=−1

では、設問を確認しましょう!

「点Pを通り直線lに垂直な直線の方程式」を聞いていますね。

点P(p,q)は、今のところそのまま使うようなので、「直線lに垂直」という
部分に注目します。

直線の垂直条件は何でしたか?

★ mm'=−1

ですね。
つまり、垂直な直線は傾きを掛けると−1になります。
または、片方の傾きを逆数にして符号を変えると、もう片方になる。という見方
も可能です。

直線lの傾きは4/3なので、

(4/3)m'=−1
    m'=−3/4

点P(p,q)とm'=−3/4をy−y1=m(x−x1)に代入すると、

y−q=(−3/4)(x−p)
  y=(−3/4)(x−p)+q

となります。
よって、[ア]=3,[イ]=4


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 ◆5 交点なら連立

次は、この垂線とlとの交点を聞いています。
2直線の交点ならば、連立して解けばいいですね!

y=(4/3)xとy=(−3/4)(x−p)+qを連立して、

(4/3)x=(−3/4)(x−p)+q
  16x=−9(x−p)+12q     ←両辺に12を掛けた
  16x=−9x+9p+12q
  25x=9p+12q         ←移項した
    x=(9p+12q)/25
    x=(3/25)(3p+4q)

このx座標をy=4/3xに代入すると、

y=(4/3)(3/25)(3p+4q)
 =(4/25)(3p+4q)

よって、求める交点の座標は((3/25)(3p+4q),(4/25)(3p+4q))
となります。

つまり、[ウ]=3,[エ]=4


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この問題の解説の続きは、10/3の21時頃配信予定の
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