2014年数学２Ｂ第１問[2]の問題です。
2014年大学入試センター試験数学２Ｂ
第１問
[2] 自然数ｍ，ｎに対して、不等式
ｌｏｇ[2]ｍ^3＋ｌｏｇ[3]ｎ^2≦３ ・・・{4}を考える。
ｍ＝２，ｎ＝１のとき、ｌｏｇ[2]ｍ^3＋ｌｏｇ[3]ｎ^2＝[ソ]であり、
このｍ，ｎの値の組は{4}を満たす。
ｍ＝４，ｎ＝３のとき、ｌｏｇ[2]ｍ^3＋ｌｏｇ[3]ｎ^2＝[タ]であり、
このｍ，ｎの値の組は{4}を満たさない。
不等式{4}を満たす自然数ｍ，ｎの組の個数を調べよう。{4}は
ｌｏｇ[2]ｍ＋([チ]／[ツ])ｌｏｇ[3]ｎ≦[テ] ・・・{5}
と変形できる。
ｎが自然数のとき、ｌｏｇ[3]ｎのとり得る最小の値は[ト]であるから、
{5}により、ｌｏｇ[2]ｍ≦[テ]でなければならない。ｌｏｇ[2]ｍ≦[テ]により、
ｍ＝[ナ]またはｍ＝[ニ]でなければならない。ただし、[ナ]＜[ニ]とする。
ｍ＝[ナ]の場合は、{5}は、ｌｏｇ[3]ｎ≦[ヌ]／[ネ]となり、ｎ^2≦[ノハ]と
変形できる。よって、ｍ＝[ナ]のとき、{5}を満たす自然数ｎのとり得る値の
範囲はｎ≦[ヒ]である。したがって、ｍ＝[ナ]の場合、{4}を満たす自然数
ｍ，ｎの組の個数は[ヒ]である。
同様にして、ｍ＝[ニ]の場合、{4}を満たす自然数ｍ，ｎの組の個数は[フ]
である。
以上のことから、{4}を満たす自然数ｍ，ｎの組の個数は[ヘ]である。
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