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【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方 vol.5
≪大学入試センター試験2014年 数2B 第2問≫ 2014/10/17
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目次・・・■ 問題 ■ 解説目次 ■ 公式 ■ 解答一覧 ■ 編集後記
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このメルマガでは、大学入試センター試験の問題を詳細に解説します。
今回取り上げる問題は、2014年数学２Ｂ第２問です。
■ 問題
第２問
ｐを実数とし、ｆ(ｘ)＝ｘ^3－ｐｘとする。
(1) 関数ｆ(ｘ)が極値をもつためのｐの条件を求めよう。ｆ(ｘ)の導関数は
ｆ'(ｘ)＝[ア]ｘ^[イ]－ｐである。したがって、ｆ(ｘ)がｘ＝ａで極値をとる
ならば、[ア]ａ^[イ]－ｐ＝[ウ]が成り立つ。さらに、ｘ＝ａの前後でのｆ'(ｘ)の
符号の変化を考えることにより、ｐが条件[エ]を満たす場合は、ｆ(ｘ)は必ず
極値をもつことがわかる。[エ]に当てはまるものを、次の{0}～{4}のうちから
一つ選べ。
{0} ｐ＝０ {1} ｐ＞０ {2} ｐ≧０ {3} ｐ＜０ {4} ｐ≦０
(2) 関数ｆ(ｘ)がｘ＝ｐ／３で極値をとるとする。また、曲線ｙ＝ｆ(ｘ)をＣ
とし、Ｃ上の点(ｐ／３，ｆ(ｐ／３))をＡとする。
ｆ(ｘ)がｘ＝ｐ／３で極値をとることから、ｐ＝[オ]であり、ｆ(ｘ)は
ｘ＝[カキ]で極大値をとり、ｘ＝[ク]で極小値をとる。
曲線Ｃの接線で、点Ａを通り傾きが０でないものをｌとする。ｌの方程式を
求めよう。ｌとＣの接点のｘ座標をｂとすると、ｌは点(ｂ，ｆ(ｂ))における
Ｃの接線であるから、ｌの方程式はｂを用いて
ｙ＝([ケ]ｂ^2－[コ])(ｘ－ｂ)＋ｆ(ｂ)
と表すことができる。また、ｌは点Ａを通るから、方程式
[サ]ｂ^3－[シ]ｂ^2＋１＝０
を得る。この方程式を解くと、ｂ＝[ス]，[セソ]／[タ]であるが、ｌの傾きが
０でないことから、ｌの方程式は
ｙ＝([チツ]／[テ])ｘ＋[ト]／[ナ]
である。
点Ａを頂点とし、原点を通る放物線をＤとする。ｌとＤで囲まれた図形のうち、
不等式ｘ≧０の表す領域に含まれる部分の面積Ｓを求めよう。Ｄの方程式は
ｙ＝[ニ]ｘ^2－[ヌ]ｘ
であるから、定積分を計算することにより、Ｓ＝[ネノ]／２４となる。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マル１は{1}、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。
まずは自力で解けるところまで解いてみてください。自分なりの考えを持ちながら
解説を読むと、考え方をスムーズに習得でき、短期間でも大幅に実力アップ！
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■ 解説目次
◆１ 導関数は傾きを表す
◆２ 極値では導関数の値が０
◆３ 積分は微分の逆で、面積
◆４ 導関数なので微分
◆５ 極値をもつ→ｆ'(ｘ)＝０のときがある
◆６ ｐ／３で極値→ｆ'(ｐ／３)＝０
◆７ ｘ^3の係数がプラスなら右上がり
◆８ 接線の傾きは導関数
◆９ Ａを通るなら座標を代入
◆10 ３次方程式なら因数定理
◆11 ｂ＝－１／２を代入して
◆12 頂点がわかれば２次関数の標準形
◆13 「囲まれた部分」の場所は連立でわかる
◆14 下に凸の放物線なら直線が上
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■ 解説
◆１ 導関数は傾きを表す
2014年数学２Ｂ第２問は、微分積分が主なポイントになっています。
まずは、微分積分に関する基本的な用語と方法について確認しておきましょう！
「そんなの知ってるよ！」という人は、◆１～３は飛ばしてもらってもＯＫです。
まず、微分してできた関数のことを導関数といいます。
微分は「指数を１下げて、もとの指数を係数に掛ける」というイメージで計算
できます。また、微分した関数には、’(ダッシュ)をつけます。
★ ｙ＝ｘ^nならば、ｙ'＝ｎｘ^(n-1)
この微分してできた関数ｙ'が導関数ですね。
また、★定数を微分すると０になります。
そして、この導関数は、接線の傾きを表します。
高校数学でよく出てくる２次関数や３次関数などは、曲線です。
曲線は接線を引いてみると、場所によってその傾きが異なります。
この傾きの変化を表した式が「導関数」です。
さらに、導関数は接線の傾きを表すので、接線について考えるときはまず微分！
とイメージしておくとよいです。
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この問題の解説の続き、公式一覧、解答一覧は、10/17の21時頃配信予定の
【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方 vol.5で掲載します。
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小中高生、大学受験生の英・数・化学・物理など
プロ家庭教師の江間です。 ＡＥ個別学習室
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