2015年11月18日

2009年数学1A第2問の解説はこんなかんじ

ナレッジサーブで公開中の講座「過去問攻略!センター英語&数学1A2B」に、2010年、2009年の問題・解答・解説も掲載中です。
2011〜2015年のものとあわせて、合計7年分の本試験問題の解説を掲載しています。
普通の過去問の解説ではわからなかった人も、コレならわかるかも?

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           ≪2009年 数1A 第2問≫
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目次・・・■ 問題 ■ 解説目次 ■ 解答・解説 ■ 公式 ■ 解答一覧
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第2問

 aを定数とし、xの2次関数
   y=2x^2−4(a+1)x+10a+1  ・・・・・・{1}
のグラフをGとする。

 グラフGの頂点の座標をaを用いて表すと
   (a+[ア],[イウ]a^2+[エ]a−[オ])
である。

(1) グラフGがx軸と接するのは
   a=([カ]±√[キ])/[ク]
  のときである。


(2) 関数{1}の−1≦x≦3における最小値をmとする。

   m=[イウ]a^2+[エ]a−[オ]
  となるのは
   [ケコ]≦a≦[サ]
  のときである。また

   a<[ケコ]のとき m=[シス]a+[セ]
   [サ]<aのとき  m=[ソタ]a+[チ]
  である。

   したがって、m=7/9となるのは
   a=[ツ]/[テ],[トナ]/[ニ]
  のときである。


※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、
マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 平方完成するのはこんなとき
 ◆2 ちょっと複雑な式の平方完成
 ◆3 x軸と接する→頂点のy座標が0
 ◆4 頂点が定義域に入るとき
 ◆5 頂点が左にあるとき
 ◆6 頂点が右にあるとき
 ◆7 条件外の解は不適
 ◆8 条件に合うものを答える

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■ 解説

 ◆1 平方完成するのはこんなとき

高校数学の最重要事項の2次関数です。
これができなければ高校数学は何もできていないのと同じ。と言っても過言では
ないくらいの重要ポイントです。今年度受験の人だけでなく、現1年,2年生も
ぜひ解けるようにしてください。

さて、問題文から2次関数に関する問題であること、とりあえず頂点を求めること
の二つはすぐに読み取れる必要があります。

慣れている人ならば「2次関数の頂点 → 平方完成」というようにスムーズに
結びつくはずです。

平方完成をする典型的な場合はこんなときです。

●頂点
●最大・最小(様々な関数で)
●円の中心の座標(数2の範囲)

これらの言葉が問題文中に出てきたときは、平方完成をするのではないかと
心構えをした方がいいです。

また、グラフの問題では必ずグラフを描くようにするべきです。
わかったつもりでも勘違いしていたり、一見してわからないように見える問題でも
グラフを描くと解き方がわかる場合も数多くあります。


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 ◆2 ちょっと複雑な式の平方完成

さて、実際に平方完成をしてみましょう。

y=2x^2−4(a+1)x+10a+1
 =2{x^2−2(a+1)x}+10a+1 ←xを含む項を2でくくった
 =2{x^2−2(a+1)x+(a+1)^2−(a+1)^2}+10a+1
     ↑2乗の準備。半分の二乗を足したので、同じ数(式)を引けば値は同じ

 =2[{x−(a+1)}^2−(a+1)^2]+10a+1 ←2乗にした
 =2{x−(a+1)}^2−2(a+1)^2+10a+1 ←大かっこを外した
 =2{x−(a+1)}^2−2(a^2+2a+1)+10a+1
 =2{x−(a+1)}^2−2a^2−4a−2+10a+1
 =2{x−(a+1)}^2−2a^2+6a−1

これ以上簡単にはできないようなので、一旦計算は終了です。
この式から頂点の座標がわかりますね。

頂点が(p,q)のとき、y=a(x−p)^2+qとなるので、頂点の座標は・・・

(a+1,−2a^2+6a−1)

よって、[ア]=1,[イウ]=−2,[エ]=6,[オ]=1


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 ◆3 x軸と接する→頂点のy座標が0

グラフGがx軸と接するのはどんな場合でしょう?

(以下略)

「過去問攻略!センター英語&数学1A2B」
http://www.knowledge.ne.jp/lec2246.html
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