2011〜2015年のものとあわせて、合計７年分の本試験問題の解説を掲載しています。
普通の過去問の解説ではわからなかった人も、コレならわかるかも？
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≪2009年 数1A 第2問≫
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目次・・・■ 問題 ■ 解説目次 ■ 解答・解説 ■ 公式 ■ 解答一覧
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第２問
ａを定数とし、ｘの２次関数
ｙ＝２ｘ^2−４(ａ＋１)ｘ＋１０ａ＋１ ・・・・・・{１}
のグラフをＧとする。
グラフＧの頂点の座標をａを用いて表すと
（ａ＋[ア]，[イウ]ａ^2＋[エ]ａ−[オ]）
である。
(1) グラフＧがｘ軸と接するのは
ａ＝([カ]±√[キ])／[ク]
のときである。
(2) 関数｛１｝の−１≦ｘ≦３における最小値をｍとする。
ｍ＝[イウ]ａ^2＋[エ]ａ−[オ]
となるのは
[ケコ]≦ａ≦[サ]
のときである。また
ａ＜[ケコ]のとき ｍ＝[シス]ａ＋[セ]
[サ]＜ａのとき ｍ＝[ソタ]ａ＋[チ]
である。
したがって、ｍ＝７／９となるのは
ａ＝[ツ]／[テ]，[トナ]／[ニ]
のときである。
※分数は(分子)／(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、ｘの２乗はｘ^2で、
マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 平方完成するのはこんなとき
◆２ ちょっと複雑な式の平方完成
◆３ ｘ軸と接する→頂点のｙ座標が０
◆４ 頂点が定義域に入るとき
◆５ 頂点が左にあるとき
◆６ 頂点が右にあるとき
◆７ 条件外の解は不適
◆８ 条件に合うものを答える
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■ 解説
◆１ 平方完成するのはこんなとき
高校数学の最重要事項の２次関数です。
これができなければ高校数学は何もできていないのと同じ。と言っても過言では
ないくらいの重要ポイントです。今年度受験の人だけでなく、現１年，２年生も
ぜひ解けるようにしてください。
さて、問題文から２次関数に関する問題であること、とりあえず頂点を求めること
の二つはすぐに読み取れる必要があります。
慣れている人ならば「２次関数の頂点 → 平方完成」というようにスムーズに
結びつくはずです。
平方完成をする典型的な場合はこんなときです。
●頂点
●最大・最小（様々な関数で）
●円の中心の座標(数２の範囲)
これらの言葉が問題文中に出てきたときは、平方完成をするのではないかと
心構えをした方がいいです。
また、グラフの問題では必ずグラフを描くようにするべきです。
わかったつもりでも勘違いしていたり、一見してわからないように見える問題でも
グラフを描くと解き方がわかる場合も数多くあります。
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◆２ ちょっと複雑な式の平方完成
さて、実際に平方完成をしてみましょう。
ｙ＝２ｘ^2−４(ａ＋１)ｘ＋１０ａ＋１
＝２{ｘ^2−２(ａ＋１)ｘ}＋１０ａ＋１ ←ｘを含む項を２でくくった
＝２{ｘ^2−２(ａ＋１)ｘ＋(ａ＋１)^2−(ａ＋１)^2}＋１０ａ＋１
↑２乗の準備。半分の二乗を足したので、同じ数(式)を引けば値は同じ
＝２[{ｘ−(ａ＋１)}^2−(ａ＋１)^2]＋１０ａ＋１ ←２乗にした
＝２{ｘ−(ａ＋１)}^2−２(ａ＋１)^2＋１０ａ＋１ ←大かっこを外した
＝２{ｘ−(ａ＋１)}^2−２(ａ^2＋２ａ＋１)＋１０ａ＋１
＝２{ｘ−(ａ＋１)}^2−２ａ^2−４ａ−２＋１０ａ＋１
＝２{ｘ−(ａ＋１)}^2−２ａ^2＋６ａ−１
これ以上簡単にはできないようなので、一旦計算は終了です。
この式から頂点の座標がわかりますね。
頂点が（ｐ，ｑ）のとき、ｙ＝ａ(ｘ−ｐ)^2＋ｑとなるので、頂点の座標は・・・
（ａ＋１，−２ａ^2＋６ａ−１）
よって、[ア]＝１，[イウ]＝−２，[エ]＝６，[オ]＝１
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◆３ ｘ軸と接する→頂点のｙ座標が０
グラフＧがｘ軸と接するのはどんな場合でしょう？
(以下略)
「過去問攻略！センター英語＆数学１Ａ２Ｂ」
http://www.knowledge.ne.jp/lec2246.html
