2009年数学１Ａ第２問の解説はこんなかんじ

ナレッジサーブで公開中の講座「過去問攻略！センター英語＆数学１Ａ２Ｂ」に、2010年、2009年の問題・解答・解説も掲載中です。
2011〜2015年のものとあわせて、合計７年分の本試験問題の解説を掲載しています。
普通の過去問の解説ではわからなかった人も、コレならわかるかも？

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　　　　　　　　　　　≪2009年 数1A 第2問≫
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第２問

　ａを定数とし、ｘの２次関数
　　　ｙ＝２ｘ^2−４(ａ＋１)ｘ＋１０ａ＋１　　・・・・・・{１}
のグラフをＧとする。

　グラフＧの頂点の座標をａを用いて表すと
　　　（ａ＋[ア]，[イウ]ａ^2＋[エ]ａ−[オ]）
である。

(1)　グラフＧがｘ軸と接するのは
　　　ａ＝([カ]±√[キ])／[ク]
　　のときである。


(2)　関数｛１｝の−１≦ｘ≦３における最小値をｍとする。

　　　ｍ＝[イウ]ａ^2＋[エ]ａ−[オ]
　　となるのは
　　　[ケコ]≦ａ≦[サ]
　　のときである。また

　　　ａ＜[ケコ]のとき　ｍ＝[シス]ａ＋[セ]
　　　[サ]＜ａのとき　　ｍ＝[ソタ]ａ＋[チ]
　　である。

　　　したがって、ｍ＝７／９となるのは
　　　ａ＝[ツ]／[テ]，[トナ]／[ニ]
　　のときである。


※分数は(分子)／(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、ｘの２乗はｘ^2で、
マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　平方完成するのはこんなとき
　◆２　ちょっと複雑な式の平方完成
　◆３　ｘ軸と接する→頂点のｙ座標が０
　◆４　頂点が定義域に入るとき
　◆５　頂点が左にあるとき
　◆６　頂点が右にあるとき
　◆７　条件外の解は不適
　◆８　条件に合うものを答える

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■　解説

　◆１　平方完成するのはこんなとき

高校数学の最重要事項の２次関数です。
これができなければ高校数学は何もできていないのと同じ。と言っても過言では
ないくらいの重要ポイントです。今年度受験の人だけでなく、現１年，２年生も
ぜひ解けるようにしてください。

さて、問題文から２次関数に関する問題であること、とりあえず頂点を求めること
の二つはすぐに読み取れる必要があります。

慣れている人ならば「２次関数の頂点 → 平方完成」というようにスムーズに
結びつくはずです。

平方完成をする典型的な場合はこんなときです。

●頂点
●最大・最小（様々な関数で）
●円の中心の座標(数２の範囲)

これらの言葉が問題文中に出てきたときは、平方完成をするのではないかと
心構えをした方がいいです。

また、グラフの問題では必ずグラフを描くようにするべきです。
わかったつもりでも勘違いしていたり、一見してわからないように見える問題でも
グラフを描くと解き方がわかる場合も数多くあります。


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　◆２　ちょっと複雑な式の平方完成

さて、実際に平方完成をしてみましょう。

ｙ＝２ｘ^2−４(ａ＋１)ｘ＋１０ａ＋１
　＝２{ｘ^2−２(ａ＋１)ｘ}＋１０ａ＋１　←ｘを含む項を２でくくった
　＝２{ｘ^2−２(ａ＋１)ｘ＋(ａ＋１)^2−(ａ＋１)^2}＋１０ａ＋１
　　　　　↑２乗の準備。半分の二乗を足したので、同じ数(式)を引けば値は同じ

　＝２[{ｘ−(ａ＋１)}^2−(ａ＋１)^2]＋１０ａ＋１　←２乗にした
　＝２{ｘ−(ａ＋１)}^2−２(ａ＋１)^2＋１０ａ＋１　←大かっこを外した
　＝２{ｘ−(ａ＋１)}^2−２(ａ^2＋２ａ＋１)＋１０ａ＋１
　＝２{ｘ−(ａ＋１)}^2−２ａ^2−４ａ−２＋１０ａ＋１
　＝２{ｘ−(ａ＋１)}^2−２ａ^2＋６ａ−１

これ以上簡単にはできないようなので、一旦計算は終了です。
この式から頂点の座標がわかりますね。

頂点が（ｐ，ｑ）のとき、ｙ＝ａ(ｘ−ｐ)^2＋ｑとなるので、頂点の座標は・・・

（ａ＋１，−２ａ^2＋６ａ−１）

よって、[ア]＝１，[イウ]＝−２，[エ]＝６，[オ]＝１


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　◆３　ｘ軸と接する→頂点のｙ座標が０

グラフＧがｘ軸と接するのはどんな場合でしょう？

(以下略)

「過去問攻略！センター英語＆数学１Ａ２Ｂ」
http://www.knowledge.ne.jp/lec2246.html