ナレッジサーブで公開中の講座「過去問攻略!センター英語&数学1A2B」に、2010年、2009年の問題・解答・解説も掲載中です。
2011〜2015年のものとあわせて、合計7年分の本試験問題の解説を掲載しています。
普通の過去問の解説ではわからなかった人も、コレならわかるかも?
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≪2009年 数1A 第2問≫
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目次・・・■ 問題 ■ 解説目次 ■ 解答・解説 ■ 公式 ■ 解答一覧
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第2問
aを定数とし、xの2次関数
y=2x^2−4(a+1)x+10a+1 ・・・・・・{1}
のグラフをGとする。
グラフGの頂点の座標をaを用いて表すと
(a+[ア],[イウ]a^2+[エ]a−[オ])
である。
(1) グラフGがx軸と接するのは
a=([カ]±√[キ])/[ク]
のときである。
(2) 関数{1}の−1≦x≦3における最小値をmとする。
m=[イウ]a^2+[エ]a−[オ]
となるのは
[ケコ]≦a≦[サ]
のときである。また
a<[ケコ]のとき m=[シス]a+[セ]
[サ]<aのとき m=[ソタ]a+[チ]
である。
したがって、m=7/9となるのは
a=[ツ]/[テ],[トナ]/[ニ]
のときである。
※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、
マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。
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■ 解説目次
◆1 平方完成するのはこんなとき
◆2 ちょっと複雑な式の平方完成
◆3 x軸と接する→頂点のy座標が0
◆4 頂点が定義域に入るとき
◆5 頂点が左にあるとき
◆6 頂点が右にあるとき
◆7 条件外の解は不適
◆8 条件に合うものを答える
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■ 解説
◆1 平方完成するのはこんなとき
高校数学の最重要事項の2次関数です。
これができなければ高校数学は何もできていないのと同じ。と言っても過言では
ないくらいの重要ポイントです。今年度受験の人だけでなく、現1年,2年生も
ぜひ解けるようにしてください。
さて、問題文から2次関数に関する問題であること、とりあえず頂点を求めること
の二つはすぐに読み取れる必要があります。
慣れている人ならば「2次関数の頂点 → 平方完成」というようにスムーズに
結びつくはずです。
平方完成をする典型的な場合はこんなときです。
●頂点
●最大・最小(様々な関数で)
●円の中心の座標(数2の範囲)
これらの言葉が問題文中に出てきたときは、平方完成をするのではないかと
心構えをした方がいいです。
また、グラフの問題では必ずグラフを描くようにするべきです。
わかったつもりでも勘違いしていたり、一見してわからないように見える問題でも
グラフを描くと解き方がわかる場合も数多くあります。
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◆2 ちょっと複雑な式の平方完成
さて、実際に平方完成をしてみましょう。
y=2x^2−4(a+1)x+10a+1
=2{x^2−2(a+1)x}+10a+1 ←xを含む項を2でくくった
=2{x^2−2(a+1)x+(a+1)^2−(a+1)^2}+10a+1
↑2乗の準備。半分の二乗を足したので、同じ数(式)を引けば値は同じ
=2[{x−(a+1)}^2−(a+1)^2]+10a+1 ←2乗にした
=2{x−(a+1)}^2−2(a+1)^2+10a+1 ←大かっこを外した
=2{x−(a+1)}^2−2(a^2+2a+1)+10a+1
=2{x−(a+1)}^2−2a^2−4a−2+10a+1
=2{x−(a+1)}^2−2a^2+6a−1
これ以上簡単にはできないようなので、一旦計算は終了です。
この式から頂点の座標がわかりますね。
頂点が(p,q)のとき、y=a(x−p)^2+qとなるので、頂点の座標は・・・
(a+1,−2a^2+6a−1)
よって、[ア]=1,[イウ]=−2,[エ]=6,[オ]=1
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◆3 x軸と接する→頂点のy座標が0
グラフGがx軸と接するのはどんな場合でしょう?
(以下略)
「過去問攻略!センター英語&数学1A2B」
http://www.knowledge.ne.jp/lec2246.html
2015年11月18日
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