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【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方 vol.XX
≪大学入試センター試験2015年 数2B 第2問≫ 2015/X/XX
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目次・・・■ 問題 ■ 解説目次 ■ 解答・解説 ■ 公式 ■ 解答一覧
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このメルマガでは、大学入試センター試験の問題を詳細に解説します。
今回取り上げる問題は、2015年数学２Ｂ第２問です。
■ 問題
第２問
(1) 関数ｆ(ｘ)＝(１／２)ｘ^2のｘ＝ａにおける微分係数ｆ'(ａ)を求めよう。
ｈが０でないとき、ｘがａからａ＋ｈまで変化するときのｆ(ｘ)の平均変化率は
[ア]＋ｈ／[イ]である。したがって、求める微分係数は
ｆ'(ａ)＝lim[h→[ウ]]([ア]＋ｈ／[イ])＝[エ]
である。
(2) 放物線ｙ＝(１／２)ｘ^2をＣとし、Ｃ上に点Ｐ(ａ，(１／２)ａ^2)をとる。
ただし、ａ＞０とする。点ＰにおけるＣの接線ｌの方程式は
ｙ＝[オ]ｘ−(１／[カ])ａ^2
である。直線ｌとｘ軸との交点Ｑの座標は([キ]／[ク]，０)である。
点Ｑを通りｌに垂直な直線をｍとすると、ｍの方程式は
ｙ＝([ケコ]／[サ])ｘ＋[シ]／[ス]
である。
直線ｍとｙ軸との交点をＡとする。三角形ＡＰＱの面積をＳとおくと
Ｓ＝ａ(ａ^2＋[セ])／[ソ]
となる。
また、ｙ軸と線分ＡＰおよび曲線Ｃによって囲まれた図形の面積をＴとおくと
Ｔ＝ａ(ａ^2＋[タ])／[チツ]
となる。
ａ＞０の範囲におけるＳ−Ｔの値について調べよう。
Ｓ−Ｔ＝ａ(ａ^2−[テ])／[トナ]
である。ａ＞０であるから、Ｓ−Ｔ＞０となるようなａのとり得る値の範囲は
ａ＞√[ニ]である。またａ＞０のときのＳ−Ｔの増減を調べると、Ｓ−Ｔは
ａ＝[ヌ]で最小値[ネノ]／[ハヒ]をとることがわかる。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。
まずは自力で解けるところまで解いてみてください。自分なりの考えを持ちながら
解説を読むと、考え方をスムーズに習得でき、短期間でも大幅に実力アップ！
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■ 解説目次
◆１ 導関数は傾きを表す
◆２ 極値では導関数の値(＝微分係数)が０
◆３ 平均変化率＝変化の割合
◆４ 微分ならｈ→０
◆５ 接線は直線
◆６ ｘ軸上はｙ＝０
◆７ 垂直ならｍｍ'＝−１
◆８ 三角形なら頂点の座標を
◆９ 曲線なら積分
◆10 正の数で割っても不等号はそのまま
◆11 関数の増減といえば増減表
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■ 解説
◆１ 導関数は傾きを表す
2015年数学２Ｂ第２問は、微分積分が主なポイントになっています。
まずは、微分に関する基本的な用語と方法について確認しておきましょう！
「そんなの知ってるよ！」という人は、◆１，２は飛ばしてもらってもＯＫです。
まず、微分してできた関数のことを導関数といいます。
微分は「指数を１下げて、もとの指数を係数に掛ける」というイメージで計算
できます。また、微分した関数には、’(ダッシュ)をつけます。
★ ｙ＝ｘ^nならば、ｙ'＝ｎｘ^(n-1)
この微分してできた関数ｙ'が導関数ですね。
また、★定数を微分すると０になります。
そして、この導関数は、接線の傾きを表します。
高校数学でよく出てくる２次関数や３次関数などは、曲線です。
曲線は接線を引いてみると、場所によってその傾きが異なります。
この傾きの変化を表した式が「導関数」です。
つまり、ある特定の場所の接線の傾きを求めたかったら、導関数にその点の
ｘ座標を代入すればよいのです。
そして、そのｙ'の値を「微分係数」といいます。
さらに、導関数は接線の傾きを表すので、接線について考えるときはまず微分！
とイメージしておくとよいです。
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◆２ 極値では導関数の値(＝微分係数)が０
次に極値について確認しておきましょう。
曲線のグラフを描いてみると、線が山のようになったり谷のようになったりする
部分ができることがあります。
この山や谷の部分のｙの値を「極値」と呼びます。
関数は、極値のところを境に増加から減少に、または、減少から増加に転じます。
つまり、極値を境に接線の傾きの符号が変わるのです。
ということは、★「極値のときの導関数の値(＝微分係数)は０」になる。
と言えます。
そして、この極値が、その周辺より大きいとき(山)が「極大値」で、周辺より
小さい(谷)が「極小値」です。
数学２の微分積分のメインとなる３次関数では、この極大極小がとても重要です。
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◆３ 平均変化率＝変化の割合
さて、今回の問題では、最初に「平均変化率」が登場しています。
これは結局のところ中学の「変化の割合」と同じです。
★「変化の割合」＝(ｙの増加量)／(ｘの増加量)
ですね。
微分の単元では「変化の割合」を「平均変化率」と呼ぶ。と考えれば大丈夫です。
「ｆ(ｘ)＝(１／２)ｘ^2」で、「ｘがａからａ＋ｈまで変化するときのｆ(ｘ)の
平均変化率」を聞いています。
平均変化率と変化の割合は同じなのだから、ｆ(ｘ)＝ｙとして、その通りに
やってみましょう！
ｘは、ａからａ＋ｈまで変化するので、ｘの増加量は(ａ＋ｈ−ａ)
ｙは、それぞれのｘ座標を代入して、
ｙの増加量は{(１／２)(ａ＋ｈ)^2−(１／２)ａ^2}
ということで、
(平均変化率)＝{(１／２)(ａ＋ｈ)^2−(１／２)ａ^2}／(ａ＋ｈ−ａ)
＝(１／２)(ａ^2＋２ａｈ＋ｈ^2−ａ^2)／ｈ
＝(１／２)(２ａｈ＋ｈ^2)／ｈ
＝(１／２)(２ａ＋ｈ)
＝ａ＋(１／２)ｈ
よって、[ア]＝ａ，[イ]＝２
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(中略)
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今回取り上げた問題の解説は以上です。理解できましたか？
できた人もできなかった人も、ここでいったん、解説の目次に戻って、解答に
至るためにはどんなことを考えて、何を利用すれば良いのか見直してください。
各小見出しが手がかりとなって、進むべき道がよりはっきり見えるはずです。
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■ 今回の公式・定理・性質など
★ 微分の計算ｙ＝ｘ^nならば、ｙ'＝ｎｘ^(n-1)
★ 定数を微分すると０
★ 積分の計算方法：次数を１上げて、新しい次数で割る
★ 定積分∫[a〜b]ｘ^nｄｘ＝[{１／(ｎ＋１)}ｘ^(n+1)][a〜b]
＝{１／(ｎ＋１)}ｂ^(n+1)−{１／(ｎ＋１)}ａ^(n+1)
★ ｙ−ｙ1＝ｍ(ｘ−ｘ1)
★ 微分は接線の傾きを表す
★ 直線の垂直条件：ｍｍ'＝−１
★ 積分はグラフとｘ軸との間の面積を表す
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■ 解答一覧
[ア]＝ａ，[イ]＝２，[ウ]＝０，[エ]＝ａ，[オ]＝ａ，[カ]＝２，[キ]＝ａ，
[ク]＝２，[ケコ]＝−１，[サ]＝ａ，[シ]＝１，[ス]＝２，[セ]＝１，
[ソ]＝８，[タ]＝３，[チツ]＝１２，[テ]＝３，[トナ]＝２４，[ニ]＝３，
[ヌ]＝１，[ネノ]＝−１，[ハヒ]＝１２
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■ 編集後記
ということで、数学２Ｂ2015年第２問でした。
火曜日は１Ａ、金曜日は２Ｂを取り上げます。
最初に極限が出てきたので、戸惑ってしまった人も多かったかも知れません。
しかし、誘導も丁寧で、全体的には簡単な問題が多かったと言えます。
とりあえず、「微分係数」「平均変化率」などの用語は、しっかり理解して
おいた方が良さそうです。
解説の間違い・不足や、何かリクエストなどありましたら、何でもいいので、
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