さらに、センター数学のメルマガが、2016年分ももう少しで完成します。
例えば、今書いたものの一部をご紹介します。
2016年数学２Ｂ 第３問
真分数を分母の小さい順に、分母が同じ場合には分子の小さい順に並べて
できる数列
１／２，１／３，２／３，１／４，２／４，３／４，１／５，…
を{ａn}とする。真分数とは、分子と分母がともに自然数で、分子が分母より
小さい分数のことであり、上の数列では、約分できる形の分数も含めて並べて
いる。以下の問題に分数形解答する場合は、[解答上の注意]にあるように、それ
以上約分できない形で答えよ。
(1) ａ15＝[ア]／[イ]である。また、分母に初めて８が現れる項は、ａ[ウエ]
である。
(2) ｋを２以上の自然数とする。数列{ａn}において、１／ｋが初めて現れる項を
第Ｍk項とし、(ｋ－１)／ｋが初めて現れる項を第Ｎk項とすると
Ｍk＝([オ]／[カ])ｋ^2－([キ]／[ク])ｋ＋[ケ]
Ｎk＝([コ]／[サ])ｋ^2－([シ]／[ス])ｋ
である。よって、ａ104＝[セソ]／[タチ]である。
(3) ｋを２以上の自然数とする。数列{ａn}の第Ｍk項から第Ｎk項までの和は、
([ツ]／[テ])ｋ－[ト]／[ナ]である。したがって、数列{ａn}の初項から第Ｎk項
までの和は
([ニ]／[ヌ])ｋ^2－([ネ]／[ノ])ｋ
である。よって
Σ[n=1～103]ａn＝[ハヒフ]／[ヘホ]
である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、数列{ａn}のｎ＋１項目はａn+1、
一般項ｎ^2の初項から第ｎ項までの数列の和はΣ[k=1～n]ｋ^2、マル１は{1}、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。
まずは自力で解けるところまで解いてみてください。自分なりの考えを持ちながら
解説を読むと、考え方をスムーズに習得でき、短期間でも大幅に実力アップ！
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(中略)
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◆７ 分子は自然数の列
(3)は、今まで考えてきた数列{ａn}の和に関する問題です。
まずは、第Ｍk項から第Ｎk項までの和を聞いています。
この数列は、分母がｋで、分子は１からｋ－１までなので、
１からｋ－１まで自然数の和をｋで割ったものと同じです。
([ツ]／[テ])ｋ－[ト]／[ナ]
＝{(１＋ｋ－１)(ｋ－１)／２}／ｋ
＝{ｋ(ｋ－１)／２}ｋ
＝(ｋ－１)／２
＝(１／２)ｋ－(１／２)
よって、[ツ]＝１，[テ]＝２，[ト]＝１，[ナ]＝２
これは、分母が等しい項をまとめて「群」と捉えた場合の、「第ｋ群の項の和」
を表しています。
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