2016年06月17日

数学3 「微分の考え方」問題一覧

理系の大学受験生の多くは、センター試験を突破すると、数学3の試験が待っています。
数学3は、様々な関数の微分積分が中心的な分野です。
一見して「途方もなく難しい」と感じる人が多いですが、これこそ「どんなときに何をすべきか」を習得しておけば解決できる部分が多いです。
そのための練習用アプリも制作しています。
数学1A,2Bでおなじみ(?)「読むだけでわかる」シリーズです。

【高校数学】読むだけでわかる!数学3の考え方
 http://pmana.jp/pc/pm730.html

まずは微分の問題一覧を掲載してみます。

第1問: y=x^2のとき、y’を求めよ。
第2問: y=1/xの導関数を求めよ。
第3問: y=√xを微分せよ。
第4問: y=(x+1)^2を微分せよ。このとき正しい考え方を全て選ぶと?
第5問: y=f(x)・g(x)を微分すると?
第6問: y=sinxのとき、dy/dxを求めよ。
第7問: 関数y=cosxの導関数を求めよ。
第8問: (tanx)’を計算せよ。
第9問: y=(sinx)^2を微分すると?
第10問: y=e^xを微分せよ。
第11問: y=a^xを微分すると?
第12問: y=e^(ax)の導関数を求めよ。
第13問: y=logxのとき、dy/dxを求めよ。
第14問: log[a]xを微分せよ。(ここでは[a]は底がaであることを表すとする)
第15問: {log|f(x)|}’を計算せよ。
第16問: 関数f(x)=1/√xを定義に従って微分せよ。このときは何をする?
第17問: 「関数f(x)がx=aにおいて連続である」とき、正しいものは?
第18問: f(x)がx=aで微分可能であるとき、満たしている条件は?
第19問: 関数f(x)=ax+b(x≦2),x−1(x>2)が、x=2で連続であるとき、a,bの関係式を求めよ。このときは何をする?
第20問: y=(x+1)(x+2)(x+3)の導関数を求めよ。自力で解けそうな方法を2つ選ぶと?
第21問: y=xtanxを微分すると?
第22問: x,yが次のように媒介変数t(0<t<2π)の関数として与えられているとき、dy/dxを求めよ。 x=t−sint,y=1−cost このときはまず何をする?
第23問: y=x^aの第2次導関数を求めよ。このときは何をする?
第24問: y=(ax+b)^nの第n次導関数を求めよ。このときは何をする?
第25問: y=logx上の点(e,1)における接線の方程式を求めよ。このときの考え方は?
第26問: 原点Oから曲線y=f(x)=logxに引いた接線の方程式を求めよ。このときは何をする?
第27問: 法線とは?
第28問: 数3で習う法線の公式は?
第29問: y=x+1/x上の、x=3における法線の方程式を求めよ。このときすることを全て選ぶと?
第30問: x^2+y^2=r^2を微分すると?
第31問: x^2/a^2+y^2/b^2=1上の点(x0,y0)における接線の方程式を求めよ。このときはまず何をする?
第32問: 関数f(x)について、|h|が十分に小さいとき、f(a+h)の近似値は?
第33問: sin31°の近似値を求めよ。このときはf(a+h)≒f(a)+f'(a)hを利用するが、aとhは何にする?
第34問: f(x)=(x^2)(x−1)^3のとき、f'(c)=0となるcが0と1の間に存在することを示せ。このときはまず何をする?
第35問: f(x)=1/xについて、f'(c)={f(3)−f(1)}/2,1<c<3を満たすcの値を求めよ。このときは何をする?
第36問: 0≦α<β<π/2のとき、「sinβ−sinα<β−α<tanβ−tanα」となることを平均値の定理を用いて証明せよ。このとき、sinβ−sinα<β−αを示すためにすることは?
第37問: y=x+√(4−x^2)の増減を調べよ。このときすることを全て選ぶと?
第38問: 変曲点について言えることは?
第39問: f(x)=x/(x^2+4)の極値を求めよ。このときはまず最初に何をする?
第40問: f(x)=4x+3+16/(x−1)の極値を求めよ。このときは与式を微分して増減表を書くのが普通の解き方だが、特に気をつけるべき事は?
第41問: f(x)=x^(2/3)の極値を求めよ。このときは、極値を聞かれているので微分し、f'(x)=0となるxを求める。が、f'(x)=0となるxは存在しない。この場合どうする?
第42問: 関数f(x)=sinx(cosx)^3(0≦x≦π)の最大値と最小値を求めよ。このときは、まずはもちろん微分する。やってみると、f'(x)=(cosx)^4−3(sinx)^2(cosx)^2となる。ここから次の式の変形は、まず最初にどうするとやりやすい?
第43問: f(x)=x/(x^2+2)の最大値・最小値を求めよ。このときはどう考える?
第44問: 放物線y=x^2上の点Pと点A(3,0)を結ぶ線分APの長さの最小値を求めよ。このときは何をする?


以上のような問題が、選択肢を選んで読み進めるだけで練習できます。
無料の体験版もありますので、まずは一度お試ししてみては?
問題のリクエストも受け付けています。

【高校数学】読むだけでわかる!数学3の考え方
 http://pmana.jp/pc/pm730.html
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