2016年大学入試センター試験数学１Ａ第５問を取り上げます。
2016年センター試験数１Ａより
第５問
四角形ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ＝４，ＢＣ＝２，ＤＡ＝ＤＣであり、４つの
頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは同一円周上にある。対角線ＡＣと対角線ＢＤの交点をＥ，
線分ＡＤを２：３の比に内分する点をＦ，直線ＦＥと直線ＤＣの交点をＧとする。
(画像はメルマガで)
次の[ア]には、下の{0}～{4}のうちから当てはまるものを一つ選べ。
∠ＡＢＣの大きさが変化するとき四角形ＡＢＣＤの外接円の大きさも変化する
ことに注意すると、∠ＡＢＣの大きさがいくらであっても、∠ＤＡＣと大きさが
等しい角は、∠ＤＣＡと∠ＤＢＣと[ア]である。
{0} ∠ＡＢＤ {1} ∠ＡＣＢ {2} ∠ＡＤＢ
{3} ∠ＢＣＧ {4} ∠ＢＥＧ
このことよりＥＣ／ＡＥ＝[イ]／[ウ]である。次に、△ＡＣＤと直線ＦＥに
着目すると、ＧＣ／ＤＧ＝[エ]／[オ]である。
(1) 直線ＡＢが点Ｇを通る場合について考える。
このとき、△ＡＧＤの辺ＡＧ上に点Ｂがあるので、ＢＧ＝[カ]である。
また、直線ＡＢと直線ＤＣが点Ｇで交わり、４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは同一円周上に
あるので、ＤＣ＝[キ]√[ク]である。
(2) 四角形ＡＢＣＤの外接円の直径が最小となる場合について考える。
このとき、四角形ＡＢＣＤの外接円の直径は[ケ]であり、∠ＢＡＣ＝[コサ]°
である。
また、直線ＦＥと直線ＡＢの交点をＨとするとき、ＧＣ／ＤＧ＝[エ]／[オ]の
関係に着目してＡＨを求めると、ＡＨ＝[シ]である。
※分数は(分子)／(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、ｘの２乗はｘ^2で、
マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}で表記しています。
■ 解説
(◆１は省略します)
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◆２ まずは図形の設定を確認
第５問は、三角形と円を中心とする、図形の性質の問題です。
「この分野はパス」と決めている人は、今回は無視していただいても構いません。
では、今回の問題の解説です。
今回は参考図がありますが、長さなどは書いていないので、自分で図に書き込み
ながら読んでいくと良いです。
「四角形ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ＝４，ＢＣ＝２，ＤＡ＝ＤＣであり、４つの
頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは同一円周上にある。対角線ＡＣと対角線ＢＤの交点をＥ，
線分ＡＤを２：３の比に内分する点をＦ，直線ＦＥと直線ＤＣの交点をＧとする」
ＡＢに４，ＢＣに２を書き込みます。
ＤＡ＝ＤＣなので、長さが同じであることがわかるよう印を書きます。
そして、点Ｆは線分ＡＤを２：３の比に内分するので、ＡＦ，ＦＤに囲み数字
などで２，３と書き込みます。
ＥとＧが何と何の交点なのかも確認しておいてください。
まずここまで良いでしょうか？
またモヤモヤしている人は、もう一度図と照らし合わせて読んでみてくださいね！
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◆３ 円周角の定理も大活躍
では最初の設問です。
∠ＤＡＣと大きさが等しい角を答える問題です。
２つは問題文に書いてありますね。
∠ＤＣＡと∠ＤＢＣです。
これらはどうして等しいのかわかりますか？
「そんなこと気にしなくても良いじゃないか」と思う人もいると思いますが、
残り１つを探すためのヒントでもあるので、これら２つがどうして∠ＤＡＣと
等しいかを考えておくのがオススメです。
まず∠ＤＣＡは、△ＤＡＣに注目すると、ＤＡ＝ＤＣなので二等辺三角形ですね。
ならば底角は等しいので、∠ＤＡＣ＝∠ＤＣＡとなります。
次に∠ＤＢＣは、４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄが円周上にあるので、円周角の定理が成り
立ちます。
「同一の弧に対する円周角は等しい」という定理ですね。
これにより、∠ＤＡＣ＝∠ＤＢＣです。
他に等しいとわかる角は・・・∠ＡＢＤですね！
∠ＡＢＤは、∠ＤＣＡと同一の弧に対する円周角です。
つまり、∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＡです。
∠ＤＣＡ＝∠ＤＡＣなので、∠ＡＢＤ＝∠ＤＡＣということができます。
よって、[ア]＝{0}
(以下略)
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解説の続きは・・・
【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
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