■ 問題
2016年センター試験数1Aより
第4問
(1) 不定方程式
92x+197y=1
をみたす整数x,yの組の中で、xの絶対値が最小のものは
x=[アイ],y=[ウエ]
である。不定方程式
92x+197y=10
をみたす整数x,yの組の中で、xの絶対値が最小のものは
x=[オカキ],y=[クケ]
である。
(2) 2進法で11011(2)と表される数を4進法で表すと[コサシ](4)である。
次の{0}〜{5}の6進法の小数のうち、10進法で表すと有限小数として表せる
のは、[ス],[セ],[ソ]である。ただし、解答の順序は問わない。
{0} 0.3(6) {1} 0.4(6)
{2} 0.33(6) {3} 0.43(6)
{4} 0.033(6) {5} 0.043(6)
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■ 解説
◆1 全部解いてから選択が理想だが・・・
2016年は、第3問〜第5問が選択問題となりました。
場合の数・確率、整数の性質、図形の性質の順に問題が配置されていて、
これらの大問3つから2つを選び解答する形式でした。
全て解けるようにしておいて、実際に解いてみて出来の良い2問を答えるのが
理想ですが、普通はあまり時間にも余裕がないはずなので、事前に得意分野を
2つ決めておいて、残りの1問は無視するのがノーマルな対処方法だと思います。
受験では、可能性を追求するため、こういった作戦も必要になってきます。
まずは好き嫌いせずに数回分の過去問・予想問題を解いてみて、解きやすい分野を
見つけていきましょう!
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◆2 不定方程式ならユークリッドの互除法
第4問は、不定方程式とn進数の問題です。
「この分野はパス」と決めている人は、今回は無視していただいても構いません。
まずは
(1) 不定方程式92x+197y=1
に関する問題です。
不定方程式は、x,yと2つの変数を含むので、これを満たすx,yの組み合わせ
は無数に存在します。
この単元では特に、その中の整数解について考えます。
整数解を求める方法はいくつかあります。
まず第一に、様々な値を代入してみる。という方法です。
係数が小さい場合は、解のうちのいくつかは、これで簡単に見つけることが
できます。
しかし、今回の問題のように、係数が大きい場合はこれではちょっと厳しいです。
そんなときは・・・
ユークリッドの互除法ですね!
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◆3 同じ形の等式を作る
不定方程式の整数解を求めるには、ユークリッドの互除法を使うのが普通です。
ユークリッドの互除法を用いて、x,yの係数の公約数を求め、等式を作ります。
次々と割り算をして、余りを求めていきます。
この単元は、実際にやってみるのが一番よいと思います。
197÷92=2・・・13
92÷13=7・・・1
これより、等式を作ることができます。
92=13×7+1→1=92−13×7・・・a
197=92×2+13→13=197−92×2・・・b
bをaに代入すると、
1=92−(197−92×2)×7
1=92−197×7+92×14
1=92×15+197×(−7)
これで与えられた不定方程式92x+197y=1と同じ形になりました。
このまま何も手を加えないときが、「xの絶対値が最小のもの」になります。
よって、[アイ]=15,[ウエ]=−7
時間がない場合や、高得点が必要ない人は、とりあえずここまでできるように
しておけばよいと思います。
(以下略)
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解説の続きは・・・
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