2017年01月10日

本日配信のメルマガ。2016年センター数学1A第4問 不定方程式

本日配信のメルマガでは、2016年大学入試センター試験数学1A第4問を解説します。

■ 問題

2016年センター試験数1Aより

第4問

(1) 不定方程式

 92x+197y=1

をみたす整数x,yの組の中で、xの絶対値が最小のものは

 x=[アイ],y=[ウエ]

である。不定方程式

 92x+197y=10

をみたす整数x,yの組の中で、xの絶対値が最小のものは

 x=[オカキ],y=[クケ]

である。

(2) 2進法で11011(2)と表される数を4進法で表すと[コサシ](4)である。

 次の{0}〜{5}の6進法の小数のうち、10進法で表すと有限小数として表せる
のは、[ス],[セ],[ソ]である。ただし、解答の順序は問わない。

{0} 0.3(6)  {1} 0.4(6)
{2} 0.33(6)  {3} 0.43(6)
{4} 0.033(6)  {5} 0.043(6)

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■ 解説

 ◆1 全部解いてから選択が理想だが・・・

2016年は、第3問〜第5問が選択問題となりました。

場合の数・確率、整数の性質、図形の性質の順に問題が配置されていて、
これらの大問3つから2つを選び解答する形式でした。

全て解けるようにしておいて、実際に解いてみて出来の良い2問を答えるのが
理想ですが、普通はあまり時間にも余裕がないはずなので、事前に得意分野を
2つ決めておいて、残りの1問は無視するのがノーマルな対処方法だと思います。

受験では、可能性を追求するため、こういった作戦も必要になってきます。

まずは好き嫌いせずに数回分の過去問・予想問題を解いてみて、解きやすい分野を
見つけていきましょう!


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 ◆2 不定方程式ならユークリッドの互除法

第4問は、不定方程式とn進数の問題です。
「この分野はパス」と決めている人は、今回は無視していただいても構いません。

まずは

(1) 不定方程式92x+197y=1

に関する問題です。

不定方程式は、x,yと2つの変数を含むので、これを満たすx,yの組み合わせ
は無数に存在します。

この単元では特に、その中の整数解について考えます。

整数解を求める方法はいくつかあります。

まず第一に、様々な値を代入してみる。という方法です。
係数が小さい場合は、解のうちのいくつかは、これで簡単に見つけることが
できます。

しかし、今回の問題のように、係数が大きい場合はこれではちょっと厳しいです。

そんなときは・・・

ユークリッドの互除法ですね!


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 ◆3 同じ形の等式を作る

不定方程式の整数解を求めるには、ユークリッドの互除法を使うのが普通です。
ユークリッドの互除法を用いて、x,yの係数の公約数を求め、等式を作ります。
次々と割り算をして、余りを求めていきます。
この単元は、実際にやってみるのが一番よいと思います。

197÷92=2・・・13
92÷13=7・・・1

これより、等式を作ることができます。

92=13×7+1→1=92−13×7・・・a
197=92×2+13→13=197−92×2・・・b

bをaに代入すると、

1=92−(197−92×2)×7
1=92−197×7+92×14
1=92×15+197×(−7)

これで与えられた不定方程式92x+197y=1と同じ形になりました。

このまま何も手を加えないときが、「xの絶対値が最小のもの」になります。

よって、[アイ]=15,[ウエ]=−7

時間がない場合や、高得点が必要ない人は、とりあえずここまでできるように
しておけばよいと思います。


(以下略)


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解説の続きは・・・

【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html

数学1A2B本試験の全問題を詳細に解説。\540/月。初月無料。火・金配信。
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